Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 8: Строка 8:
 
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A  = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A  </math>. <br>
 
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A  = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A  </math>. <br>
 
По теореме Пифагора: <math> (x^{(i)} - z, y)_A = 0 </math> для любого <math> y \in K_i \Leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i </math>. <br>
 
По теореме Пифагора: <math> (x^{(i)} - z, y)_A = 0 </math> для любого <math> y \in K_i \Leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i </math>. <br>
Пусть в <math> K_i </math> построен А-ортогональный базис <math> p_1, p_2, ... . p_i </math>. Тогда очевидно коэффициенты разложения <math> y^{(i)} = \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + ... + \alpha_i p_i </math>.
+
Пусть в <math> K_i </math> построен А-ортогональный базис <math> p_1, p_2, ... . p_i </math>. Тогда очевидно коэффициенты <math> \alpha_j </math> разложения <math> y^{(i)} = \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + ... + \alpha_i p_i </math> не зависят от i.
  
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===

Версия 01:59, 22 октября 2017

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.

1.2 Математическое описание алгоритма

Рассмотрим систему уравнений [math] Ax = b [/math], где [math] A^* = A \gt 0 [/math].
Выберем произвольное начальное приближение [math] x^{(0)} [/math] и перейдем к редуцированной системе [math] Au = r^{(0)} [/math], где [math] r^{(0)} = b - Ax^{(0)} [/math], [math]x = x^{(0)} + u [/math].
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова [math] K_i(r^{(0)}, A) [/math] A-норму ошибки [math] e = x - z [/math], где [math] z [/math] — точное решение системы. Таким образом, [math] x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} [/math], где [math] y^{(i)} = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A [/math].
По теореме Пифагора: [math] (x^{(i)} - z, y)_A = 0 [/math] для любого [math] y \in K_i \Leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i [/math].
Пусть в [math] K_i [/math] построен А-ортогональный базис [math] p_1, p_2, ... . p_i [/math]. Тогда очевидно коэффициенты [math] \alpha_j [/math] разложения [math] y^{(i)} = \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + ... + \alpha_i p_i [/math] не зависят от i.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература