Участник:Коростелец

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений

$Ay=f$

где А - квадратная невырожденная матрица порядка m, у - искомый вектор размерности m, f - заданный вектор той же размерности

Рассмотрим нестационарный одношаговый итерационный метод решения такой системы вида

$B \frac{y_{n+1}-y_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f; n=0,1,...; y_0\in H,$

а так же аналогичный двушаговый метод

$B \frac{y_{n+1}-y_n+(1-\alpha_{n+1})(y_n-y_{n-1})}{\alpha_{n+1}\tau_{n+1}}+Ay_n=f, \frac{y_{1}-y_0}{\tau_{1}}+Ay_0=f; n=1,...; y_0\in H$ Целью алгоритма является решение такой системы.

1.2 Математическое описание алгоритма

В описанном методе невырожденная матрица B не зависит от номера итерации n, решение y системы и последовательные приближения y_n - элементы линейного пространства H размерности m, в котором определены скалярное произведение и норма $||y||=\sqrt{(y,y)}$

Можно выразить $\begin{equation} y_{n+1}=y_n -\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f) \end{equation}$

Тогда для нахождения $y_{n+1}$ необходимо определить $\tau_{n+1}$

Пусть $z_n=y_n-y$ - погрешность на n-ой итерации. Выразив $y_{n+1}$ и $y_n$

через погрешность, можно получить

$B\frac{z_{n+1}+y-z_n-y}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f B\frac{z_{n+1}-z_n}{\tau_{n+1}}+Ay_n=f$

отсюда

$z_{n+1}=z_n-\tau_{n+1}B^{-1}(Ay_n-f)=(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n$

Пусть D - произвольная матрица, удовлетворяющая условиям

$D^T=D\gt 0.$ Выбор итерационных параметров $\tau_{n+1}$ можно сделать на основе минимизации энергитической нормы $||z_{n+1}||_D.$ Такой способ построения итерационного процесса называется локальной минимизацией.

Обозначив $\begin{equation} w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1} \end{equation}$ получим

$||z_{n+1}||_D=\sqrt{(Dz_{n+1},z_{n+1})}=\sqrt{(D^{1/2}z_{n+1},D^{1/2}z_{n+1})}=||w_{n+1}||$

Значит минимизация $||z_{n+1}||_D$ эквивалентна минимизации $||w_{n+1}||$

Выразим

$w_{n+1}=D^{1/2}z_{n+1}=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)z_n=D^{1/2}(E-\tau_{n+1}B^{-1}A)D^{-1/2}D^{1/2}z_n=$

$=(E-\tau_{n+1}D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2})w_n=(E-\tau_{n+1}C)w_n$,

где $\begin{equation} C=D^{-1/2}B^{-1}AD^{1/2} \end{equation}$

- невырожденная матрица.

Пусть $w_0\neq 0,$ иначе на n-ой итерации найдено точное решение, тогда

$||w_{n+1}||^2=((E-\tau_{n+1}C)w_n,(E-\tau_{n+1}C)w_n)=$ $=||w_n||^2+\tau_{n+1}^2(Cw_n,Cw_n)-2\tau_{n+1}(Cw_n,w_n)=$ $=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}^2-2\tau_{n+1}\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})=$ $=||w_n||^2+(Cw_n,Cw_n)(\tau_{n+1}-\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)})^2-\frac{(Cw_n,w_n)^2}{(Cw_n,Cw_n)}$

Это значит, что минимальное значение $||w_{n+1}||$ достигается при

$\tau_{n+1}=\frac{(Cw_n,w_n)}{(Cw_n,Cw_n)},$ где $\tau_{n+1}\gt 0,$ если C>0

В дальнейшем предполагаем условие C>0 выполненным.

$\tau_{n+1}=\frac{(DB^{-1}Az_n,z_n)}{(DB^{-1}Aw_n,B^{-1}Aw_n)}$

Где $v_n=B^{-1}(Ay_n-f)$ - поправка, $r_n=(Ay_n-f)$ -невязка на n-ой итерации.

Значит $\begin{equation} \tau_{n+1}=\frac{(Dv_n,z_n)}{(Dv_n,v_n)} \end{equation}$

3 Литература

Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики: Учеб. пособие. - М.:ИНФРА-М,2013