Участник:Nasty9705/Метод Крамера решения СЛАУ

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Метод Крамера требует вычисления [math]n+1[/math] определителей размерности [math]n\times n[/math]. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка [math]O(n^4)[/math], что сложнее чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным.

1.2 Математическое описание алгоритма

Для системы [math]n[/math] линейных уравнений с [math]n[/math] неизвестными (над произвольным полем)

[math]\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\ \end{cases}[/math]

с определителем матрицы системы [math] \Delta [/math], отличным от нуля, решение записывается в виде

[math]x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\ a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}[/math]

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

[math](c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} & 0\\ \end{vmatrix}[/math]

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что [math]\Delta[/math] отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы [math]b_1,b_2,...,b_n[/math] и [math]x_1,x_2,...,x_n[/math], либо набор [math]c_1,c_2,...,c_n[/math] состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Если коротко, то алгоритм сводится к вычислению главного определителя матрицы [math](Δ)[/math], а затем [math]N[/math] дополнительных определителей [math]Δi[/math] (для матриц, полученных заменой[math]i[/math]-того столбца на столбец свободных членов). После проделанных вычислений [math]i[/math]-тый корень можно получить по формуле [math]x_{i} = Δi/Δ[/math].

Что в этом алгоритме может быть выполнено параллельно? У нас вычисляется [math]N[/math] определителей и именно в этой части алгоритма программа находится большую часть времени – очевидно, нет смысла распараллеливать вычисление [math]x_{i}[/math] для [math]i=0..(N-1)[/math], имеющее линейную асимптотическую сложность. Очевидно, можно распараллелить алгоритм вычисления определителя, однако он сводится к сведению матрицы к треугольному виду и вычислению произведения элементов диагонали – т.е. целесообразно параллельно выполнять только триангуляцию.

3 Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.