Участник:Nikkou/Фильтр Собеля

Описание параллельной реализации алгоритма фильтрации Собеля.

Автор: А.Г.Лыжов (401 группа).

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Фильтр Собеля - дискретный дифференциальный оператор, который используется для приближения градиента яркости изображения. Он часто используется в алгоритмах выделения границ при обработке изображений. Фильтр Собеля был предложен Ирвином Собелем и Гэри Фелдманом в лаборатории искусственного интеллекта Стэнфорда в 1968.

Фильтр Собеля легко вычислять, так как он основан на свертках изображения с небольшими ядрами. Из-за этого он аппроксимирует градиент со значительной погрешностью, но качество аппроксимации оказывается достаточным для многих практических приложений.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• изображение [math]A^{N\cdot M}[/math]

Вычисляемые данные:

• матрица аппроксимации модуля градиента [math]G^{N\cdot M}[/math]

• матрица аппроксимации направления градиента [math]\Theta^{N\cdot M}[/math]

Это матрицы такого же размера, как исходное изображение, так как параметры градиента вычисляются для каждого пикселя изображения.

Промежуточные горизонтальные и вертикальные производные (а точнее, их аппроксимации) вычисляются с помощью следующих двумерных сверток:

[math] \mathbf{G}_x = \begin{bmatrix} +1 & 0 & -1 \\ +2 & 0 & -2 \\ +1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A} ,\ \mathbf{G}_y = \begin{bmatrix} +1 & +2 & +1\\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A} [/math]

Аппроксимации для модуля и направления градиента можно получить, скомбинировав эти производные:

[math]\mathbf{G} = \sqrt{ {\mathbf{G}_x}^2 + {\mathbf{G}_y}^2 }[/math]

[math]\mathbf{\Theta} = \operatorname{atan}\left({ \mathbf{G}_y \over \mathbf{G}_x }\right)[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро совпадает с алгоритмом, так как все описанные операции выполняются за [math]O(M\cdot N)[/math] на одном изображении.

1.4 Макроструктура алгоритма

Макроструктуру в основном составляют:

1) двумерные свертки, приведенные в математическом описании;

2) операция поэлементного геометрического среднего между промежуточными аппроксимациями.

Эти элементы алгоритма приведены в разделе с математическим описанием.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Запись на C++-подобном псевдокоде:

float *sobel(float *img) {
    // Оператор собеля разложим на одномерные свертки с ядрами [1, 0, -1] и [1, 2, 1]
    // Здесь они обозначены как соответственно diff_kernel и sum_kernel
    horiz_der = conv(img, diff_kernel, sum_kernel); // Аппроксимация производной по горизонтальному направлению
    vert_der = conv(img, sum_kernel, diff_kernel); // Аппроксимация производной по вертикальному направлению
    return combine_horiz_vert(horiz_der, vert_der);
}

for (int i = 0; i < n_images; i++) {
    img = get_input(i); // Чтение изображения с диска
    res = sobel(img);
    write_result(res); // Запись результата на диск
}

Для повышения производительности в последовательной реализации всегда следует использовать сепарабельность свертки и считать двумерную свертку как композицию из одномерных.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

[math]O(M\cdot N \cdot K)[/math] при обработке K изображений размером M*N, так как все макроэлементы, составляющие структуру алгоритма, выполняются за константу для одного пикселя.

1.7 Информационный граф

Группы вершин:

1) выполняет операцию чтения изображения с диска. Количество вершин равно количеству изображений K.

2) выполняет горизонтальную свертку каждого изображения.

3) выполняет вертикальную свертку каждого изображения.

4) комбинирует частичные результаты.

5) записывает результат на диск.

Группы вершин в графе соединены последовательно, и каждая вершина соединена только с вершинами соседних групп, соответствующих одному и тому же изображению.

Граф альтернативно можно представить и более детально, например, раскрыв макрооперации сверток изображения по строкам, столбцам, элементам ядер.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Группы параллельных ветвей:

1) Операции над разными изображениями независимы и образуют массово параллельные ветви.

2) Одномерные свертки в разложении двумерной могут считаться независимо. Это конечный параллелизм.

3) Одномерные свертки можно считать независимо по каждому пикселю - массовый параллелизм. Можно сделать их вычисление параллельным на практике если и не по пикселям, то по крайней мере по специально сконструированным блокам изображения для оптимального выполнения на GPU.

В предположении неограниченной доступности вычислительных узлов алгоритм выполняется за константное время. Последовательными операциями в таком случае являются только чтение, подсчет сверток по направлениям, их комбинация и запись результата на диск.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: K вещественных матриц размером N*M с диапазоном значений от 0 до 1. О структуре данных нельзя делать предположений. Выходные данныые: K вещественных матриц размером N*M. Дополнительно можно отнормировать диапазон значений результата для визуализации.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

При обилии входных данных очень легко распределить различные изображения на различные процессы. Но при параллельной обработке одного изображения возникают тонкости, связанные с барьерными синхронизациями между операциями, эффективным использованием быстрой памяти и "разогревом" GPU.

В целом значительных препятствий для распараллеливания нет, что можно видеть по графику слабой масштабируемости.

График сильной масштабируемости:

2.7 Существующие реализации алгоритма

В силу возможности эффективно распараллелить фильтрацию с ядром Собеля и широких возможностей практического применения, есть

- последовательные реализации (OpenCV)

- параллельные реализации на CUDA для GPU: 1, 2

- параллельная реализация на MPI для CPU: ссылка.

Автор статьи написал параллельную реализацию, которая использует и MPI для распределения входных данных по GPU на узлах, и CUDA для эффективного просчета на GPU. За основу был взят код примера эффективной реализации сепарабельной двумерной свертки над CUDA от NVIDIA.

3 Литература

Podlozhnyuk, V. (2007). Image convolution with CUDA. NVIDIA Corporation white paper, June, 2097(3).

Ogawa, K., Ito, Y., & Nakano, K. (2010, November). Efficient Canny edge detection using a GPU. In Networking and Computing (ICNC), 2010 First International Conference on (pp. 279-280). IEEE.

Luo, Y., & Duraiswami, R. (2008, June). Canny edge detection on NVIDIA CUDA. In Computer Vision and Pattern Recognition Workshops, 2008. CVPRW'08. IEEE Computer Society Conference on (pp. 1-8). IEEE.