Участник:Sergey.protserov/Метод Якоби решения СЛАУ: различия между версиями
(+= 1.1, 1.2) |
(+= references) |
||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
</math>, <math>\det A \ne 0</math>. | </math>, <math>\det A \ne 0</math>. | ||
| − | Каноническая форма одношагового стационарного итерационного метода имеет вид: | + | Каноническая форма одношагового стационарного итерационного метода имеет вид <ref name="MVAAVG">Абакумов М. В., Гулин А.В. Лекции по численным методам математической физики. - Москва: ИНФРА-М, 2013. - 61 с. </ref>: |
<math> | <math> | ||
B\frac{y^{n+1} - y^{n}}{\tau} + Ay^{n} = f, \quad n = 0,\,1,\,\dots\,, | B\frac{y^{n+1} - y^{n}}{\tau} + Ay^{n} = f, \quad n = 0,\,1,\,\dots\,, | ||
| Строка 38: | Строка 38: | ||
В методе Якоби <math>\tau = 1</math>, <math>B = D</math>, где <math>D</math> — диагональная матрица, элементы которой совпадают с элементами, стоящими на главной диагонали матрицы <math>A</math>. | В методе Якоби <math>\tau = 1</math>, <math>B = D</math>, где <math>D</math> — диагональная матрица, элементы которой совпадают с элементами, стоящими на главной диагонали матрицы <math>A</math>. | ||
| − | Достаточным условием сходимости метода является свойство строгого диагонального преобладания у матрицы <math>A</math>. | + | Достаточным условием сходимости метода является свойство строгого диагонального преобладания у матрицы <math>A</math>. <ref name="BR">Bagnara, Roberto. (2001). A Unified Proof For The Convergence Of Jacobi And Gauss-Seidel Methods. SIAM Review. 37. 10.1137/1037008. </ref> |
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
| Строка 49: | Строка 49: | ||
В качестве условия окончания итерационного процесса можно использовать условие <math>\left\lVert y^{n+1} - y^{n}\right\rVert \le \varepsilon</math>, где <math>\varepsilon</math> — заданная точность. Для оценки ошибки можно использовать невязку <math>Ay^{n+1} - f</math>. | В качестве условия окончания итерационного процесса можно использовать условие <math>\left\lVert y^{n+1} - y^{n}\right\rVert \le \varepsilon</math>, где <math>\varepsilon</math> — заданная точность. Для оценки ошибки можно использовать невязку <math>Ay^{n+1} - f</math>. | ||
| + | |||
| + | == Литература == | ||
| + | <references /> | ||
Версия 17:50, 16 октября 2019
Содержание
1 Свойства и структура алгоритмов
1.1 Общее описание алгоритма
Метод Якоби -- одношаговый стационарный итерационный метод решения СЛАУ вида [math]Ay = f[/math], где [math] A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mm} \\ \end{array} \right) [/math], [math] f = \left( \begin{array}{c} f_{1} \\ \vdots \\ f_{m} \\ \end{array} \right) [/math], [math] y = \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{m} \\ \end{array} \right) [/math], [math]\det A \ne 0[/math].
Каноническая форма одношагового стационарного итерационного метода имеет вид [1]: [math] B\frac{y^{n+1} - y^{n}}{\tau} + Ay^{n} = f, \quad n = 0,\,1,\,\dots\,, [/math]
где [math]B[/math] — невырожденная матрица [math]m \times m[/math], [math]\tau \in \mathbb{R}[/math], [math]y^{0}[/math] — заданное начальное приближение. Решение исходной СЛАУ находится приближённо посредством последовательных итераций. На [math]n[/math]-ом шаге находится [math]y^{n+1}[/math] — очередное приближение для искомого решения [math]y[/math].
В методе Якоби [math]\tau = 1[/math], [math]B = D[/math], где [math]D[/math] — диагональная матрица, элементы которой совпадают с элементами, стоящими на главной диагонали матрицы [math]A[/math].
Достаточным условием сходимости метода является свойство строгого диагонального преобладания у матрицы [math]A[/math]. [2]
1.2 Математическое описание алгоритма
В обозначениях предыдущего пункта выражение для [math]y^{n+1}[/math] через [math]y^{n}[/math]: [math]y^{n+1} = D^{-1}\left(D-A\right)y^{n} + D^{-1}f[/math].
В поэлементной записи:
[math]y^{n+1}_{i} = \frac{1}{a_{ii}}\left(f_{i} - \sum_{j=1,\,j \ne i}^{m}a_{ij}y^{n}_{j}\right),\quad i = 1,\,\dots,\,m[/math].
В качестве условия окончания итерационного процесса можно использовать условие [math]\left\lVert y^{n+1} - y^{n}\right\rVert \le \varepsilon[/math], где [math]\varepsilon[/math] — заданная точность. Для оценки ошибки можно использовать невязку [math]Ay^{n+1} - f[/math].
