Обратная подстановка (вещественный вариант)

1 Описание свойств и структуры алгоритма

1.1 Словесное описание алгоритма

Обратный ход метода Гаусса - решение СЛАУ [math]Ux = y[/math] с правой треугольной матрицей [math]U[/math]. Матрица [math]U[/math] - одна из составляющих матрицы [math]A[/math] и получается либо из [math]LU[/math]-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, разложение Холецкого и др.), либо из других разложений. В силу треугольности [math]U[/math] решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.

1.2 Математическое описание

Исходные данные: правая треугольная матрица [math]U[/math] (элементы [math]u_{ij}[/math]), вектор правой части [math]y[/math] (элементы [math]y_{i}[/math]).

Вычисляемые данные: вектор решения [math]x[/math] (элементы [math]x_{i}[/math]).

Формулы метода:

[math] \begin{align} x_{n} & = y_{n}/u_{nn} \\ x_{i} & = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}, \quad i \in [1, n - 1]. \end{align} [/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.