Полный метод циклической редукции

Циклическая редукция для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n)[/math]
Объём входных данных	[math]4n-2[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(log n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Основные авторы описания: А.В.Фролов.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Циклическая редукция - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ вида [math]Ax = b[/math], где

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} [/math]

Бывает, однако, что при изложении сути методов решения трёхдиагональных СЛАУ элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид

[math] A = \begin{bmatrix} b_{1} & a_{1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ c_{2} & b_{2} & a_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & c_{3} & b_{3} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & c_{n-1} & b_{n-1} & a_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & c_{n} & b_{n} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{1} \\ f_{2} \\ \vdots \\ f_{n} \\ \end{bmatrix} [/math]

или, если записывать отдельно по уравнениям, то

[math]b_{1} x_{1} + a_{1} x_{2} = f_{1}[/math],

[math]c_{i} x_{i-1} + b_{i} x_{i} + a_{i} x_{i+1} = f_{i}, 2 \le i \le n-1[/math],

[math]c_{n} x_{n-1} + b_{n} x_{n} = f_{n}[/math].

Циклическая редукция, как и все варианты прогонки, заключается в исключении из уравнений неизвестных, однако, в отличие от них, в ней исключение ведут одновременно по всей СЛАУ. В принципе, её можно считать вариантом метода редукции, выполняемого максимально возможное для данной СЛАУ число раз.

Рисунок 1. Граф алгоритма циклической редукции при n=15.

1.2 Математическое описание алгоритма

Лучше всего схема циклической редукции разработана для случая [math]n = 2^{m}-1[/math]. Эта схема состоит из прямого и обратного ходов. Прямой ход состоит из последовательного уменьшения в СЛАУ количества уравнений почти в 2 раза (за счёт подстановки из уравнений с нечётными номерами заменяются уравнения с чётными), пока не останется одно уравнение, обратный - в получении всё большего количества компонент решения исходной СЛАУ. Оба хода - как прямой, так и обратный - разбиты на шаги. Здесь мы приведём тот вариант алгоритма, в котором операции экономятся за счёт предварительной нормировки уравнений, используемых для исключения неизвестных.

1.2.1 Прямой ход

В начале считаем, что все [math]c^{(0)}_{i} = c_{i}, b^{(0)}_{i} = b_{i}, a^{(0)}_{i} = a_{i}, f^{(0)}_{i} = f_{i}, x^{(0)}_{i} = x_{i}[/math]

На k-м шаге теперь выполняем процедуру редукции системы уравнений размерности n.

Для каждого из уравнений

[math]c^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i-1} + b^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i} + a^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i+1} = f^{(k)}_{i}[/math]

с нечётными [math]i[/math] с помощью деления уравнения на [math]b^{(k)}_{i}[/math] выполняется его замена на уравнение

[math] (c^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}) x^{(k)}_{i-1} + x^{(k)}_{i} + (a^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}) x^{(k)}_{i+1} = f^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}[/math]

Уравнение

[math]b^{(k)}_{1} x^{(k)}_{1} + a^{(k)}_{1} x^{(k)}_{2} = f^{(k)}_{1}[/math]

аналогично меняется на уравнение

[math]x^{(k)}_{i} + (a^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}) x^{(k)}_{2} = f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}[/math]:

а уравнение

[math]c^{(k)}_{n} x^{(k)}_{n-1} + b^{(k)}_{n} x^{(k)}_{n} = f^{(k)}_{n}[/math]

меняется на уравнение

[math](c^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n}) x^{(k)}_{n-1} + x^{(k)}_{n} = f^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n}[/math]:

Для каждого же из уравнений

[math]c^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i-1} + b^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i} + a^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i+1} = f^{(k)}_{i}[/math]

с чётными [math]i[/math] (кроме [math]2[/math] и [math]n-2[/math]) выполняется, с учётом [math]x^{(k+1)}_{i/2} = x^{(k)}_{i}[/math] его замена на уравнение

[math]c^{(k+1)}_{i/2} x^{(k+1)}_{(i-2)/2} + b^{(k+1)}_{i/2} x^{(k+1)}_{i/2} + a^{(k+1)}_{i/2} x^{(k+1)}_{(i+2)/2} = f^{(k+1)}_{i/2}[/math]

при этом

[math]c^{(k+1)}_{i/2} = - c^{(k)}_{i}(c^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1})[/math],

[math]a^{(k+1)}_{i/2} = - a^{(k)}_{i}(a^{(k)}_{i+1}/b^{(k)}_{i+1})[/math],

[math]b^{(k+1)}_{i/2} = b^{(k)}_{i} - c^{(k)}_{i}(a^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1}) - a^{(k)}_{i}(c^{(k)}_{i+1}/b^{(k)}_{i+1})[/math],

[math]f^{(k+1)}_{i/2} = f^{(k)}_{i} - c^{(k)}_{i}f^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1} - a^{(k)}_{i}f^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1}[/math].

Для 2го уравнения выполняется его замена на уравнение

[math]b^{(k+1)}_{1} x^{(k+1)}_{1} + a^{(k+1)}_{1} x^{(k+1)}_{(2} = f^{(k+1)}_{1}[/math]

при этом

[math]a^{(k+1)}_{1} = - a^{(k)}_{2}(a^{(k)}_{3}/b^{(k)}_{3})[/math],

[math]b^{(k+1)}_{1} = b^{(k)}_{2} - c^{(k)}_{2}(a^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}) - a^{(k)}_{2}(c^{(k)}_{3}/b^{(k)}_{3})[/math],

[math]f^{(k+1)}_{1} = f^{(k)}_{2} - c^{(k)}_{2}f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1} - a^{(k)}_{2}f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}[/math]

[math]n-2[/math]-е уравнение заменяется на

[math]c^{(k+1)}_{(n-2)/2} x^{(k+1)}_{(n-2)/2} + b^{(k+1)}_{n/2} x^{(k+1)}_{n/2} = f^{(k+1)}_{n/2}[/math]

при этом

[math]c^{(k+1)}_{(n-2)/2} = - c^{(k)}_{n-2}(c^{(k)}_{n-3}/b^{(k)}_{n-3})[/math],

[math]b^{(k+1)}_{(n-2)/2} = b^{(k)}_{n-2} - c^{(k)}_{n-2}(a^{(k)}_{n-3}/b^{(k)}_{n-3}) - a^{(k)}_{n-2}(c^{(k)}_{n-1}/b^{(k)}_{n-1})[/math],

[math]f^{(k+1)}_{(n-2)/2} = f^{(k)}_{n-2} - c^{(k)}_{n-2}f^{(k)}_{n-3}/b^{(k)}_{n-3} - a^{(k)}_{n-2}f^{(k)}_{n-3}/b^{(k)}_{n-3}[/math].

По окончании всех этих манипуляций у нас размерность k+1-й СЛАУ оказывается равной [math]n/2 - 1[/math].

Повторяем шаги до тех пор, пока после [math]m-1[/math] шагов редукции размерность СЛАУ не становится равной 1.