Уровень алгоритма

Участник:Ivanov.kir.m/Быстрое дискретное преобразование Фурье: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 5: Строка 5:
 
| pf_width          = <math>n</math>
 
| pf_width          = <math>n</math>
 
| input_data        = <math>n</math> действительных чисел
 
| input_data        = <math>n</math> действительных чисел
| output_data      = <math>\lfloor N/2 \rfloor+1</math> комплексных чисел
+
| output_data      = <math>\lfloor n/2 \rfloor+1</math> комплексных чисел
 
}}
 
}}
 
'''Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT)''' — алгоритм быстрого  вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем <math>O(N^{2})</math>, требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность <math>O(N\log(N))</math>.
 
'''Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT)''' — алгоритм быстрого  вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем <math>O(N^{2})</math>, требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность <math>O(N\log(N))</math>.
Строка 14: Строка 14:
 
Одним из вариантов '''быстрого преобразования Фурье''' для вектора '''действительных чисел''' с размерностью равной степени двойки является '''алгоритм Кули-Тьюки'''. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет '''эрмитовой избыточности''' (''Hermitian redundancy'') , т.е.  <math>out[i]</math> является сопряженным с <math>out[n-i]</math>. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма.
 
Одним из вариантов '''быстрого преобразования Фурье''' для вектора '''действительных чисел''' с размерностью равной степени двойки является '''алгоритм Кули-Тьюки'''. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет '''эрмитовой избыточности''' (''Hermitian redundancy'') , т.е.  <math>out[i]</math> является сопряженным с <math>out[n-i]</math>. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма.
  
== Математическое описание алгоритма ==
+
=== Математическое описание алгоритма ===
  
 +
Входные данные: вектор действительных чисел <math>a = (a_1,a_2,...,a_n)</math>.
 +
Выходные данные: вектор комплексных чисел <math>b = (b_1,b_2,...,b_(\lfloor n/2 \rfloor+1))</math>.
  
== Вычислительное ядро алгоритма ==
+
'''''Замечание:''''' поскольку '''алгоритм Кули-Тьюки''' применим только к векторам '''размерности степени двойки''', вектора иной размерности необходимо '''дополнять''' до ближайшей степени двойки. Данный факт делает '''алгоритм Кули-Тьюки''' не самым эффективным алгоритмом БПФ, поскольку необходимость дополнения до степени двойки может сильно усложнить задачу.
  
 
+
==== Рекурсивное описание ====
== Макроструктура алгоритма ==
+
Алгоритм:
 
+
1. Входной вектор a = (a_1,a_2,...,a_n) дополняется элементами до ближайшей степени двойки
 
+
Вектор записывается по строкам по 2 элемента в каждой. После этого над каждой строкой выполняется преобразование Фурье порядка 2,
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
+
получившиеся элементы умножаются на поворотные множители <math>exp (2 \pi i(m-1)(j-1)/n)</math> (<math>m</math> - номер строки, <math>j</math> - номер столбца), после чего выполняется БПФ порядка <math>n/2</math> над каждым из столбцов.
 
+
Поскольку для 1-го столбца поворотные множители равны 1, то реально умножение на них не выполняется, а умножения на поворотные множители элементов второго столбца соединяются с преобразованием Фурье порядка 2. Эта комбинация, называемая "бабочкой" в среде специалистов по БПФ, и является основной операцией в простом алгоритме Кули-Тьюки. "Бабочка" состоит из вычисления суммы двух комплексных чисел, а также из вычисления их разности с последующим умножением на комплексное число. Всего на каждом шаге выполняется <math>n/2</math> "бабочек", а шагов - <math>l-1</math>. Последний,
 
+
<math>l</math>-й шаг вычисляет только суммы и разности.
== Последовательная сложность алгоритма ==
 
 
 
 
 
== Информационный граф ==
 
 
 
 
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
 
 
 
 
 
== Входные и выходные данные алгоритма ==
 
 
 
 
 
== Свойства алгоритма ==
 
  
  

Версия 14:26, 18 сентября 2016


Алгоритм Кули-Тьюки одномерного преобразования Фурье для действительных чисел
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O (n log_{2} n)[/math]
Объём входных данных [math]n[/math] действительных чисел
Объём выходных данных [math]\lfloor n/2 \rfloor+1[/math] комплексных чисел
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]O (log_{2} n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]n[/math]

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого  вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем [math]O(N^{2})[/math], требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность [math]O(N\log(N))[/math].

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Одним из вариантов быстрого преобразования Фурье для вектора действительных чисел с размерностью равной степени двойки является алгоритм Кули-Тьюки. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет эрмитовой избыточности (Hermitian redundancy) , т.е. [math]out[i][/math] является сопряженным с [math]out[n-i][/math]. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма.

1.1.1 Математическое описание алгоритма

Входные данные: вектор действительных чисел [math]a = (a_1,a_2,...,a_n)[/math]. Выходные данные: вектор комплексных чисел [math]b = (b_1,b_2,...,b_(\lfloor n/2 \rfloor+1))[/math].

Замечание: поскольку алгоритм Кули-Тьюки применим только к векторам размерности степени двойки, вектора иной размерности необходимо дополнять до ближайшей степени двойки. Данный факт делает алгоритм Кули-Тьюки не самым эффективным алгоритмом БПФ, поскольку необходимость дополнения до степени двойки может сильно усложнить задачу.

1.1.1.1 Рекурсивное описание

Алгоритм: 1. Входной вектор a = (a_1,a_2,...,a_n) дополняется элементами до ближайшей степени двойки Вектор записывается по строкам по 2 элемента в каждой. После этого над каждой строкой выполняется преобразование Фурье порядка 2, получившиеся элементы умножаются на поворотные множители [math]exp (2 \pi i(m-1)(j-1)/n)[/math] ([math]m[/math] - номер строки, [math]j[/math] - номер столбца), после чего выполняется БПФ порядка [math]n/2[/math] над каждым из столбцов. Поскольку для 1-го столбца поворотные множители равны 1, то реально умножение на них не выполняется, а умножения на поворотные множители элементов второго столбца соединяются с преобразованием Фурье порядка 2. Эта комбинация, называемая "бабочкой" в среде специалистов по БПФ, и является основной операцией в простом алгоритме Кули-Тьюки. "Бабочка" состоит из вычисления суммы двух комплексных чисел, а также из вычисления их разности с последующим умножением на комплексное число. Всего на каждом шаге выполняется [math]n/2[/math] "бабочек", а шагов - [math]l-1[/math]. Последний, [math]l[/math]-й шаг вычисляет только суммы и разности.


2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.4 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Быстрое преобразование Фурье – Электрон. дан. – URL Быстрое преобразование Фурье (дата обращения 17.09.2016)