Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных	[math][/math]
Объём выходных данных	[math][/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: [math]k[/math] векторов [math]a_1,a_2,...,a_n[/math] длины [math]n[/math] ([math]a_{ij}[/math], [math]j=1,2,...,n[/math], — координаты вектора [math]a_i[/math] ).

Вычисляемые данные: [math]k[/math] ортогональных векторов [math]b_1,b_2,...,b_n[/math] длины [math]n[/math], причем [math]b_1=a_1[/math].

Формулы метода:

[math] \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j}=-\frac{(a_{i},b_j)}{\left|b_j\right|^2}, \quad i,j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]

Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Процесс_Грама_―_Шмидта – Электрон. дан. – URL [1] (дата обращения 18.09.2016)