Уровень алгоритма

Участник:Demon smd/Нечеткий алгоритм С средних: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 60: Строка 60:
  
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 +
 +
Схему реализации последовательного алгоритма можно описать на псевдоязыке следующим образом:
  
 
=== Последовательная сложность алгоритма ===
 
=== Последовательная сложность алгоритма ===

Версия 17:26, 30 сентября 2016


Нечеткий алгоритм C средних (Fuzzy C-means)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]-[/math]
Объём входных данных [math]-[/math]
Объём выходных данных [math]-[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]-[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]-[/math]


Авторы описания алгоритма: Д.А.Гуськов М.А.Абраменкова

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Нечёткий алгоритм кластеризации С-средних был разработан (для случая m=2) J.C. Dunn в 1973 г. [1] и усовершенствован (для случая m>1) J.C. Bezdek в 1981 г. [2] . В отличие от алгоритма c-means Данный метод кластеризации предполагает, что входные данные могут принадлежать более, чем одному кластеру одновременно. Алгоритм получает на вход набор кластеризируемых векторов, количество кластеров, коэффициент неопределённости m и коэффициент [math]\varepsilon \gt 0[/math], определяющий точность алгоритма. На выходе алгоритма получаем матрицу вероятностей принадлежности каждого входного вектора каждому кластеру.

Нечеткий алгоритм С средних для каждого вектора определяет случайным образом значения принадлежности вектора к каждому кластеру и запускает итерационный процесс, на каждой итерации которого происходит:

1) Расчёт центров кластеров.

2) Расчёт Евклидова расстояния от каждого вектора до центра каждого кластера

3) Расчёт и нормализация коэффициентов принадлежности векторов кластерам

4) Расчёт значения решающей функции и сравнение этого значения со значением решающей функции на предшествующей итерации.Если их разница меньше установленного значения, то алгоритм прекращает работу. Решающая функция возвращает сумму всех Евклидовых расстояний каждого объекта к каждому центру кластера умноженному на коэффициент принадлежности

1.2 Математическое описание алгоритма

Нечеткий алгоритм С средних минимизирует величину:

[math] \begin{align} J_{m} = \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{C}u_{i,j}^m\left\Vert{x_{i}-c_{j}}\right\|^2 & & , & & 1 \le m \le \infty & ; \\ \end{align} [/math]

где m - это действительное число не меньше единицы, [math]u_{i,j}[/math] - коэффициент принадлежности вектора [math]x_{i}[/math] к кластеру [math]c_{j}[/math], [math]x_{i}[/math] - [math]i[/math]-ый компонент [math]N[/math]-мерного вектора [math]x[/math], [math]c_{j}[/math] - центр [math]j[/math]-ого кластера, а [math]\left\Vert{*}\right\|[/math] - это любая норма, определяющая расстояние от вектора до центра кластера. Нечёткое разбиение входных данных на кластеры производится итеративной оптимизацией вышеуказанной функции с обновлением коэффициента принадлежности [math]u_{i,j}[/math] и переопределением центра кластера [math]c_{j}[/math] на каждой итерации алгоритма.

1.2.1 Вычисляемые данные на каждой итерации

  • Центры кластеров рассчитываются по следующей формуле: [math]c_{j} = {{\sum_{i = 1}^{n}{u_{i,j}^m} * x_{i}} \over {\sum_{i = 1}^{n}{u_{i,j}^m}}}[/math], где [math]u_{i,j}[/math] — коэффициент принадлежности [math]x_{i}[/math] вектора к кластеру [math]c_{j}[/math].
  • Евклидово расстояние от вектора [math]x_{i}[/math] до центра кластера [math]c_{j}[/math] рассчитывается по формуле: [math]\left\Vert{x_{i}-c_{j}}\right\|^2[/math]
  • Коэффициент принадлежности рассчитывается по формуле: [math]u_{i,j} = {1 \over \sum_{k = 1}^{C}{({\left\Vert{x_{i}-c_{j}}\right\| \over \left\Vert{x_{i}-c_{k}}\right\|})}^{2 \over m-1}}[/math]
  • Нормализация всех коэффициентов принадлежности объекта производится по формуле: [math]u_{i,j} = {u_{i,j} \over \sum_{j = 1}^{C}{u_{i,j}}} [/math]
  • Решающая функция рассчитывается по формуле: [math]\max_{i,j}(|u_{i,j}^{(k)} - u_{i,j}^{(k-1)}|)[/math], где [math]k[/math] - номер итерации алгоритма

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Из вышесказанного следует, что ядром алгоритма является вычисление нового центра кластеров, для каждого входного вектора вычисление Евклидова расстояния до центров кластеров, а также коэффициент принадлежности и вычисления решающей функции.

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Схему реализации последовательного алгоритма можно описать на псевдоязыке следующим образом:

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.9.1 Входные данные алгоритма

  • [math]x_{i}[/math] - набор входных векторов
  • [math]C[/math] - количество кластеров
  • [math]m[/math] - коэффициент неопределённости
  • [math]\varepsilon \gt 0[/math] - коэффициент, определяющий точность алгоритма.

1.9.2 Выходные данные алгоритма

  • [math]u[/math] - матрица принадлежности векторов кластерам

1.10 Свойства алгоритма

2 Литература

<references \>

  1. Dunn, J. C. (1973-01-01). "A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and Its Use in Detecting Compact Well-Separated Clusters". Journal of Cybernetics. 3 (3): 32–57. doi:10.1080/01969727308546046. ISSN 0022-0280.
  2. Bezdek, James C. (1981). Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms. ISBN 0-306-40671-3.