Участник:Бротиковская Данута/Алгоритм k-means: различия между версиями
| Строка 19: | Строка 19: | ||
Дан набор из <math>n</math> d-мерных векторов <math>X</math> = <math>\{x_1, x_2, ..., x_n\}</math>. Алгоритм k средних разбивает набор <math>X</math> на <math>k, k<=n</math> наборов <math>S=\{S_1, S_2, ..., S_k\}</math> таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра. Другими словами: | Дан набор из <math>n</math> d-мерных векторов <math>X</math> = <math>\{x_1, x_2, ..., x_n\}</math>. Алгоритм k средних разбивает набор <math>X</math> на <math>k, k<=n</math> наборов <math>S=\{S_1, S_2, ..., S_k\}</math> таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра. Другими словами: | ||
| − | <div style="text-align: center;"><math>\arg\min_{S} \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{x \in S_i} \lVert \mathbf{x}- \mathbf{\mu_i} \rVert^2</math>, где <math>\mu_i</math>- центры кластеров, <math>i=1 | + | <div style="text-align: center;"><math>\arg\min_{S} \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{x \in S_i} \lVert \mathbf{x}- \mathbf{\mu_i} \rVert^2</math>, где <math>\mu_i</math>- центры кластеров, <math>\overline{i=1,n}</math> </div> |
Версия 21:25, 8 октября 2016
| Алгоритм k средних (k means) | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]O(n^3)[/math] |
| Объём входных данных | [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]O(n)[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]O(n^2)[/math] |
Авторы страницы Данута Бротиковская и Денис Зобнин
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм k средних (k means) -- наиболее популярный метод кластеризации. Был изобретен в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом и почти одновременно Стюартом Ллойдом. Особую популярность приобрел после публикации работы МакКуина в 1967. Цель алгоритма заключается в разделении N наблюдений на K кластеров таким образом, чтобы каждое наблюдение придележало ровно одному кластеру, расположенному на наименьшем расстоянии от наблюдения.
1.2 Математическое описание алгоритма
Дан набор из [math]n[/math] d-мерных векторов [math]X[/math] = [math]\{x_1, x_2, ..., x_n\}[/math]. Алгоритм k средних разбивает набор [math]X[/math] на [math]k, k\lt =n[/math] наборов [math]S=\{S_1, S_2, ..., S_k\}[/math] таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра. Другими словами:
Шаги алгоритма:
1. Начальный шаг: Инициализация кластеров. Выбирается произвольное множество k точек, рассматриваемых как начальные центры кластеров.
2. Распределение векторов по кластерам: [math]\forall \mathbf{x_i} \in \mathbf{X}: \mathbf{x_i} \in S_j \iff j=\arg\min_{k}|x_i-\mu_k| [/math],
