Участник:Sagak/Алгоритм Ланцоша в арифметике с плавающей точкой: различия между версиями
Sagak (обсуждение | вклад) |
Sagak (обсуждение | вклад) |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
== Математическое описание алгоритма == | == Математическое описание алгоритма == | ||
− | Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица <math>A</math>, вектор <math>b</math>,количество итераций <math>k<math>. | + | Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица <math>A</math>, вектор <math>b</math>,количество итераций <math>k</math>. |
− | Вычисляемые данные: трехдиагональная матрица размерности <math>k<math>. | + | |
+ | Вычисляемые данные: трехдиагональная матрица <math>T_k(t_i_j)</math> размерности <math>k</math>. |
Версия 19:11, 13 октября 2016
1 Алгоритм Ланцоша
Алгоритм Ланцоша – итерационный метод , созданный Корнелиусом Ланцошем, для нахождения собственных значений и собственных веторов симметричной матрицы. Суть алгоритма в том, что он сводит частичную проблему собственных значений симметричной вещественной матрицы к полной проблеме собственных значений для симметричной трехдиагональной матрицы меньшей размерности. Алгоритм применяется к матрицам большой размерности, к которым не применимы никакие прямые методы. Есть три вида алгоритма: Алгоритм Ланцоша с точной арифметикой, Алгоритм Ланцоша в арифметике с плавающей точкой и Алгоритм Ланцоша с выборочной ортогонализацией. Алгоритм Ланцоша в арифметике с плавающей точкой учитывает округления, возникающие при вычислениях.
Симметричность матрицы позволяет хранить и вычислять только чуть больше половины её элементов, что почти вдвое экономит как необходимые для вычислений объёмы памяти, так и количество операций.Также алгоритм позволяет использовать так называемый режим накопления, обусловленный тем, что значительную часть вычислений составляют вычисления скалярных произведений.
2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица [math]A[/math], вектор [math]b[/math],количество итераций [math]k[/math].
Вычисляемые данные: трехдиагональная матрица [math]T_k(t_i_j)[/math] размерности [math]k[/math].