Участница:Александра/Метод встречи посередине

Метод встречи посередине
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(\sqrt(n)\ln(n))[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O()[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O()[/math]

Автор описания: А.В.Батарина

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод "Встреча посередине" криптоанализа блочных шифров был впервые предложен в 1977 году Уитфилдом Диффи и Мартином Хеллманом . Встреча посередине используется для ускорения перебора ключей шифра за счёт увеличения требуемой памяти. Метод применим в случае каскадного построения сложного шифра из нескольких простых, другими словами, в случае последовательного применения шифрующих преобразований на разных ключах к блокам открытого текста.

1.1.2 Усложнённые шифры

В качестве примера шифра, поддающегося атаке "встреча посередине" можно привести криптоалгоритм 2DES, являющийся модификацией шифра DES. В 2DES открытый текст шифруется дважды алгоритмом DES на двух разных 56-битных ключах. Однако из-за атаки "встреча посередине" сложность перебора двойного ключа (112 бит) шифра 2DES составляет [math]2^{57}[/math] вместо ожидаемых [math]2^{112}[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: открытый текст [math]x[/math], шифртекст [math]y[/math].

Алгоритм зашифрования — композиция двух преобразований [math]T_1(x,k_1)[/math] и [math]T_2(x,k_2)[/math], т.е. [math]y=T_2(T_1(x,k_1),k_2)[/math].

Алгоритм расшифрования — [math]x=T_1^{-1}(T_2^{-1}(x,k_2),k_1)[/math]

Вычисляемые данные: ключи шифрования [math]k_1 \in K_1[/math], [math]k_2 \in K_2[/math], где [math]K_1, K_2[/math] — множества возможных ключей.

Трудоёмкость полного перебора всех возможных пар [math]k_1,k_2[/math] составляет в среднем [math]\frac{|K_1||K_2|}{2}[/math]. Однако используя дополнительную память, можно сократить перебор.

Предположим, что открытый текст [math]x[/math] и шифртекст [math]y[/math] однозначно определяют ключи [math]k_1,k_2[/math]. Составим две таблицы:

[math] \begin{align} z_1 & =T_1(x,k_1^1) & z_1^' &=T_2^{-1}(x,k_2^1)\\\\ z_2 & =T_1(x,k_1^2) & z_2^' & =T_2^{-1}(x,k_2^2)\\ ... & ................. & ... & .................... \\ z_{|K_1|} & =T_1(x,k_1^{|K_1|}) & z_{|K_1|}^' & =T_2^{-1}(x,k_2^{|K_1|}) \end{align} [/math]

Для всех [math]k_1 \in K_1[/math], [math]k_2 \in K_2[/math]. Далее таблицы объединяются и сортируются по значениям [math]z_i,z_j^'[/math]. Индексы [math]i,j[/math], при которых [math]z_i=z_j^'[/math], однозначно определяют искомую пару ключей [math]k_1=k_1^i,k_2=k_2^j[/math]. Для нахождения такой пары достаточно просмотреть отсортированную таблицу один раз.

1.2.1 Оптимизации

1. От генерации второй таблицы со значениями [math]z_j^'[/math] можно отказаться, перебирая ключи [math]k_2^j[/math] до того момента, когда значение [math]z_j^'[/math] совпадёт с одним из значений [math]z_i[/math]. В таком случае опробование ключей [math]k_2^j[/math] в среднем сократится вдвое. Также вдвое сократится объём используемой памяти. Для нахождения совпадающего значения в отсортированном массиве можно применить бинарный поиск.

2. Вместо сортировки таблицы со значениями [math]z_i[/math] и последующего бинарного поиска можно использовать хэш-таблицу.

1.3 Макроструктура алгоритма

Основную сложность алгоритма составляет сортировка таблицы, полученной в результате опробования ключей. В случае использования хэш-таблицы достаточно большого размера вместо сортировки основную сложность составит опробование ключей [math]k_1,k_2[/math].

1.4 Схема реализации последовательного алгоритма

Далее приводится последовательность действий для варианта алгоритма с генерацией одной таблицы значений [math]z_i[/math].

1. Вычислить таблицу [math]z_i[/math], записывая значения в порядке вычисления или используя хэш-таблицу. 2. В случае записи значений в порядке вычисления отсортировать массив 3. Опробовать ключи [math]k_2^j[/math], ища совпадения с таблицей значений [math]z_i\lt /math. Для нахождения совпадения использовать поиск по хэш-таблице (если она есть) или бинарный поиск. === Последовательная сложность алгоритма === Сложность вычисления таблиц значений \lt math\gt z_i,z_j^'[/math] составит [math]|K_1|+|K_2|[/math] операций опробования. Объединение таблиц и их сортировка будет иметь сложность [math](|K_1|+|K_2|)\log(|K_1|+|K_2|)[/math] (например, при сортировке слиянием).

При использовании

2 Литература

<references \>