Участник:Bvdmitri/Адаптивное интегрирование: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 60 промежуточных версий 2 участников)
Строка 21: Строка 21:
 
Основное время работы алгоритма приходится на рекурсивные вызовы, а также на вычисление определенных интегралов методом Симпсона на отрезках, полученных в результате рекурсивного разбиения.
 
Основное время работы алгоритма приходится на рекурсивные вызовы, а также на вычисление определенных интегралов методом Симпсона на отрезках, полученных в результате рекурсивного разбиения.
  
== Макростуктура алгоритма ==
+
== Макроструктура алгоритма ==
  
 
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
 
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
  
 
Простейшую рекурсивную реализацию данного алгоритма , которая не использует ресурсы параллелизма можно посмотреть [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/sequential/SequentialMethod.cpp здесь].
 
Простейшую рекурсивную реализацию данного алгоритма , которая не использует ресурсы параллелизма можно посмотреть [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/sequential/SequentialMethod.cpp здесь].
 +
 +
[[Файл:Adaptive_integration_block.png|center|500px]]
  
 
<source lang="c++">
 
<source lang="c++">
Строка 47: Строка 49:
 
== Последовательная сложность алгоритма ==
 
== Последовательная сложность алгоритма ==
  
Явную формулу сложности последовательного алгоритма выписать не представляется возможным, так как сложность зависит от многих факторов, таких как структура интегрируемой функции, длина отрезка, а так же необходимой точности.
+
Явную формулу сложности последовательного алгоритма выписать не представляется возможным, так как сложность зависит от структуры интегрируемой функции, длины отрезка, а так же необходимой точности.
  
 
== Информационный граф ==
 
== Информационный граф ==
 +
 +
У алгоритма есть несколько возможностей для распараллеливания.
 +
<br>
 +
В первом случае можно разбить отрезок на фиксированное число подотрезков, и каждый подотрезок считать на одном процессоре с дальнейшим суммированием результатов с каждого процессора. Внутри процессора используется схема очереди задач. Рекурсия заменяется на операции добавить и достать задачу из общей очереди задач.
 +
 +
[[Файл:Mpi_tbb_adaptive_integral.png|1200px|center]]
 +
 +
<br>
 +
Во втором случае можно использовать управляющий узел для распределения задач между вычислительными узлами. В данном случае можно избежать ситуации, когда интегрируемая функция сильно осциллирует лишь на небольшом участке отрезка и большинство процессоров завершают свою работу раньше и ждут остальных.
 +
 +
[[Файл:Mpi_farm_adaptive_integral.png|1200px|center]]
  
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
 +
 +
Исходную задачу можно разбить на более мелкие задачи делением отрезка. Каждая задача может быть решаться отдельно от остальных, за счет чего можно достичь высокой масштабируемости.
  
 
== Входные и выходные данные алгоритма ==
 
== Входные и выходные данные алгоритма ==
Строка 65: Строка 80:
  
 
== Свойства алгоритма ==
 
== Свойства алгоритма ==
 +
 +
* Алгоритм устроен таким образом, что шаг сетки необходимой для вычисления определенного интеграла с заданной точностью адаптируется под сложность функции.
 +
* Алгоритм является устойчивым
 +
* Алгоритм является детерминированным
  
 
= Программная реализация алгоритма =
 
= Программная реализация алгоритма =
Строка 72: Строка 91:
 
== Локальность данных и вычислений ==
 
== Локальность данных и вычислений ==
  
 +
Алгоритм не использует и не подразумевает хранение общих данных между вычислительными единицами.
  
 
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
 
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
  
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
+
Алгоритм имеет несколько возможных параллельных реализаций.
 +
 
 +
=== Очередь задач на общей памяти ===
 +
Реализация для эффективного использования многомерного процессора. В данном случае вместо рекурсии используется очередь задач общая для всех ядер процессора.
 +
 
 +
Плюсы данного подхода:
 +
* Очень простая реализация
 +
 
 +
Минусы данного подхода:
 +
* Нет возможности использовать многопроцессорные кластеры, так как очередь задач находится в общей памяти.
 +
* Масштабируемость достигается только при увеличении количества ядер в одном процессоре.
 +
 
 +
===Деление на подотрезки===
 +
Отрезок интегрирования делится на одинаковые по длине отрезки. Количество этих отрезков определяется числом доступных процессоров. Каждый процессор считает определенный интеграл лишь на своем отрезке используя внутри себя очередь задач в общей памяти.
 +
 
 +
Плюсы данного подхода:
 +
* Хорошая масштабируемость на большом классе функций
 +
 
 +
Минусы данного подхода:
 +
* Отсутсвие балансировки нагрузки; разброс нагрузок на процессоры может оказаться значительным, что приведет к простою части ядер.
 +
 
 +
=== Master-Slave ===
 +
Можно использовать управляющий узел, который будет распределять нагрузку между вычислительными узлами.
  
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
+
Плюсы данного подхода:
 +
* Балансировка нагрузки
  
== Выводы для классов архитектур ==
+
Минусы данного подхода:
 +
* Более сложная реализация
 +
* Хорошая масштабируемость достигается на очень узком классе функций
 +
* Плохая масштабируемость при очень большом количестве вычислительных узлов, управляющий узел перестает успевать распределять задачи из-за чего большое количество вычислительных узлов простаивают
  
== Существующие реализации алгоритма ==
+
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
  
= Литература =
+
Для исследования масштабируемости были проведены серии тестов с различными функциями. Функции и отрезки интегрирования выбирались таким образом, чтобы первоначальное время вычисление интеграла на последовательной версии было существенно большим. Далее проводились замеры времени для каждой реализации. Количество ядер выбиралось равным степени двойки, а также исходя из специфики самой реализации.
  
=== Исходный код реализованного алгоритма ===
+
Все тесты проводились на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ломоносов_(суперкомпьютер) суперкомпьютере Ломоносов].
 +
Характеристики вычислительного кластера: [http://users.parallel.ru/wiki/pages/22-config link].
  
Весь исходный код в статье можно найти в репозитории на [https://github.com/bvdmitri/aintegrate GitHub].
 
  
=== Реализации на одном процессоре ===
 
  
Простейшую рекурсивную реализацию данного алгоритма , которая не использует ресурсы параллелизма можно посмотреть [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/sequential/SequentialMethod.cpp здесь].
 
  
<source lang="c++">
+
=== Очередь задач на общей памяти ===
#include "SequentialMethod.h"
 
  
SequentialMethod::SequentialMethod(double eps, const std::function<double(double)> &f) : IntegrationMethod(eps, f) {}
+
Данная реализация показывает практически линейную масштабируемость, но, вследствие использования для параллельности только общей памяти процессора, максимальное количество вычислительных единиц ограничено количеством ядер в одном процессоре.
  
double SequentialMethod::integrate(double a, double b) {
+
[[File:Shared_memory_adaptive_integral.png|center|900px]]
    double x = simpson(a, b, 4);
 
    double y = simpson(a, b, 8);
 
    if (fabs(x - y) < eps) {
 
        return y;
 
    } else {
 
        return integrate(a, (a + b) / 2.0) + integrate((a + b) / 2.0, b);
 
    }
 
}
 
  
SequentialMethod::~SequentialMethod() {}
+
==== Исходный код ====
</source>
 
  
<br>
+
[https://github.com/bvdmitri/aintegrate/tree/master/src/method/tbb GitHub]
Реализация с помощью библиотеки [https://www.threadingbuildingblocks.org Intel TBB] для более эффективного использования многоядерных процессоров можно посмотреть [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/tbb/TBBMethod.cpp здесь].
 
  
 
<source lang="c++">
 
<source lang="c++">
 
 
#include "TBBMethod.h"
 
#include "TBBMethod.h"
  
Строка 141: Строка 173:
  
 
TBBMethod::~TBBMethod() {}
 
TBBMethod::~TBBMethod() {}
 +
</source>
  
</source>
+
=== Деление на подотрезки ===
 +
 
 +
Данная реализация практически всегда показывает линейную масштабируемость.
 +
 
 +
[[File:Mpi_shared_memory_adaptive_integral.png|center|900px]]
  
=== Параллельная реализации ===
+
==== Исходный код ====
  
==== Реализация с помощью MPI для межпроцессорного взаимодействия и [https://www.threadingbuildingblocks.org Intel TBB] для внутрипроцессорного взаимодействия ====
+
[https://github.com/bvdmitri/aintegrate/tree/master/src/method/mpi_tbb GitHub]
  
 
<source lang="c++">
 
<source lang="c++">
Строка 174: Строка 211:
  
 
double MPI_TBBMethod::integrate(double a, double b) {
 
double MPI_TBBMethod::integrate(double a, double b) {
double answer = 0.0;
+
    double answer = 0.0;
int nodes = 1;
+
    int nodes = 1;
 
     MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &nodes);
 
     MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &nodes);
  
Строка 181: Строка 218:
 
     MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &node_id);
 
     MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &node_id);
  
double h = (b - a) / (double) nodes;
+
    double h = (b - a) / (double) nodes;
  
a = a + h * node_id;
+
    a = a + h * node_id;
 
     b = a + h;
 
     b = a + h;
  
Строка 206: Строка 243:
 
</source>
 
</source>
  
В данной реализации отрезок [a, b] делится на число доступных процессоров, каждый отрезок считается на своем процессоре, рекурсия заменяется на [https://www.threadingbuildingblocks.org/tutorial-intel-tbb-task-based-programming систему] задач библиотеки Intel MPI для более эффективного использования многоядерных процессоров.
+
=== Master-Slave реализация ===
  
==== Реализация только с помощью MPI ====
+
Данная реализация показывает плохую масштабируемость при очень большом количестве вычислительных узлов. Управляющий узел перестает успевать распределять задачи, поэтому большое число вычислительных узлов простаивает.
  
[https://github.com/bvdmitri/aintegrate/tree/master/src/method/mpi_farm Исходный код]
+
[[File:Mpi_farm_adaptive_integral_tests.png|center|900px]]
  
В данной реализации рекурсия заменяется на систему задач, каждая задача представляет собой подсчет интеграла на отрезке, в случае если необходимая точность не достигнута (см. Математическое описание алгоритма), создаются две новые задачи с меньшими отрезками и распределяются между другими процессорами. Данная реализация в теории решает проблему неравномерности гладких и не гладких участков функции, в случае когда большая часть участков гладкая и лишь небольшой участок функции сильно осциллирует.
+
==== Исходный код ====
  
=== Тесты производительности ===
+
[https://github.com/bvdmitri/aintegrate/tree/master/src/method/mpi_farm GitHub].
  
Все тесты проводились на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ломоносов_(суперкомпьютер) суперкомпьютере Ломоносов].
+
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
<br>
+
Исходный код для управляющего узла.
Тестировались две [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/functions.h функции] разной степени сложности.
+
<div class="mw-collapsible-content">
<br>
+
<source lang="c++">
Из тестов видно, что параллельная реализация с использованием технологий MPI и Intel TBB показывает прекрасную масштабируемость, в то же время версия на чистом MPI с управляющим узлом сильно проигрывает. Это связано с тем, что при синхронизации задач между процессорами происходит много пересылок сообщений MPI, в сравнении с вычислением значений функции в узловых точках. Это сильно замедляет работу программы в целом, более того при увеличении количества узлов управляющий узел не справляется с очень большим потоком сообщений от вычислительных узлов.
+
#include "Farm.h"
 +
 
 +
Farm::Farm(int nodes_num, double a, double b, double tau) {
 +
    this->nodes_num = nodes_num;
 +
    this->availableNodes = (int *) calloc((size_t) nodes_num, sizeof(int));
 +
    this->availableNodesCount = nodes_num - 1;
 +
    this->a = a;
 +
    this->b = b;
 +
    this->tau = tau;
 +
    this->answer = 0.0;
 +
 
 +
 
 +
    this->jobCount = 0;
 +
    this->jobs = (double *) calloc(FARM_JOBS_BUFFER_SIZE, sizeof(double));
 +
    //Buf structure
 +
    //0 - a
 +
    //1 - b
 +
    //2 - tau, if tau < 0, a = y or exit job
 +
 
 +
    this->message_buffer = (double *) calloc(FARM_MPI_BUFFER_SIZE, sizeof(double));
 +
    MPI_Buffer_attach(message_buffer, FARM_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double));
 +
    //Main node is always busy
 +
    availableNodes[0] = 1;
 +
}
 +
 
 +
void Farm::SendInitialJobs() {
 +
    double shift = (b - a) / (nodes_num - 1);
 +
    double *buf = (double *) calloc(3, sizeof(double));
 +
    for (int i = 0; i < nodes_num - 1; i++) {
 +
        buf[0] = a + shift * i;
 +
        buf[1] = buf[0] + shift;
 +
        buf[2] = tau;
 +
 
 +
        MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, i + 1, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
 +
        availableNodes[i + 1] = 1;
 +
        availableNodesCount -= 1;
 +
    }
 +
}
 +
 
 +
void Farm::work() {
 +
    double buf[3];
 +
    MPI_Status status;
 +
    while (true) {
 +
        MPI_Recv(buf, 3, MPI_DOUBLE, MPI_ANY_SOURCE, JOB_SAVE_OR_RESULT_TAG, MPI_COMM_WORLD, &status);
 +
        int source = status.MPI_SOURCE;
 +
 
 +
        if (buf[2] < 0.0) {
 +
            //Node send result
 +
            answer += buf[0];
 +
            if (jobCount != 0) {
 +
                buf[0] = jobs[(jobCount - 1) * 3 + 0];
 +
                buf[1] = jobs[(jobCount - 1) * 3 + 1];
 +
                buf[2] = jobs[(jobCount - 1) * 3 + 2];
 +
                jobCount -= 1;
 +
 
 +
                MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, source, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
 +
            } else {
 +
                availableNodes[source] = 0;
 +
                availableNodesCount += 1;
 +
                if (availableNodesCount == (nodes_num - 1)) {
 +
                    KillWorkers();
 +
                    break;
 +
                }
 +
            }
 +
        } else {
 +
            //Node send job
 +
            if (availableNodesCount != 0) {
 +
                for (int i = 1; i < nodes_num; i++) {
 +
                    if (availableNodes[i] == 0) {
 +
                        MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, i, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
 +
                        availableNodes[i] = 1;
 +
                        availableNodesCount -= 1;
 +
                        break;
 +
                    }
 +
                }
 +
            } else {
 +
                jobs[jobCount * 3 + 0] = buf[0];
 +
                jobs[jobCount * 3 + 1] = buf[1];
 +
                jobs[jobCount * 3 + 2] = buf[2];
 +
                jobCount += 1;
 +
            }
 +
        }
 +
 
 +
    }
 +
}
 +
 
 +
void Farm::KillWorkers() {
 +
    double buf[3];
 +
    buf[2] = -1.0;
 +
    for (int i = 1; i < nodes_num; i++) {
 +
        MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, i, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
 +
    }
 +
}
 +
 
 +
double Farm::Result() {
 +
    return answer;
 +
}
 +
 
 +
Farm::~Farm() {
 +
    free(jobs);
 +
    int size = FARM_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double);
 +
    MPI_Buffer_detach(message_buffer, &size);
 +
    free(message_buffer);
 +
}
 +
</source>
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 +
Исходный код для вычислительных узлов.
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
 
 +
<source lang="c++">
 +
#include <cmath>
 +
#include "Worker.h"
 +
 
 +
Worker::Worker(const std::function<double(double)> &f): f(f) {
 +
    this->buf = (double *) calloc(16, sizeof(double));
 +
    this->message_buffer = (double *) calloc(WORKER_MPI_BUFFER_SIZE, sizeof(double));
 +
    MPI_Buffer_attach(message_buffer, WORKER_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double));
 +
}
 +
 
 +
void Worker::work() {
 +
    while (true) {
 +
        GetJob();
 +
        if (buf[2] > 0.0) {
 +
            Calculate();
 +
        } else {
 +
            break;
 +
        }
 +
    }
 +
}
 +
 
 +
void Worker::GetJob() {
 +
    MPI_Recv(buf, 3, MPI_DOUBLE, 0, JOB_GET_TAG, MPI_COMM_WORLD, MPI_STATUS_IGNORE);
 +
}
 +
 
 +
void Worker::Calculate() {
 +
    double a = buf[0];
 +
    double b = buf[1];
 +
    double tau = buf[2];
 +
 
 +
    while (true) {
 +
        double x = simpson(a, b, 4);
 +
        double y = simpson(a, b, 8);
 +
 
 +
        if (fabs(x - y) < tau) {
 +
            SendResult(y);
 +
            break;
 +
        } else {
 +
            SaveJob(a, (a + b) / 2, tau / 2);
 +
            a = (a + b) / 2;
 +
            tau = tau / 2;
 +
        }
 +
 
 +
    }
 +
}
 +
 
 +
void Worker::SaveJob(double a, double b, double tau) {
 +
    double job[3];
 +
    job[0] = a;
 +
    job[1] = b;
 +
    job[2] = tau;
 +
    MPI_Bsend(job, 3, MPI_DOUBLE, 0, JOB_SAVE_OR_RESULT_TAG, MPI_COMM_WORLD);
 +
}
 +
 
 +
void Worker::SendResult(double result) {
 +
    double r[3];
 +
    r[0] = result;
 +
    r[1] = 0.0;
 +
    r[2] = -1.0;
 +
    MPI_Bsend(r, 3, MPI_DOUBLE, 0, JOB_SAVE_OR_RESULT_TAG, MPI_COMM_WORLD);
 +
}
 +
 
 +
Worker::~Worker() {
 +
    free(buf);
 +
    int size = WORKER_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double);
 +
    MPI_Buffer_detach(message_buffer, &size);
 +
    free(message_buffer);
 +
}
 +
 
 +
 
 +
double Worker::simpson(double a, double b, int k) {
 +
    double h = (b - a) / ((double) 2 * k);
 +
    double answer = 0.0;
 +
    for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
 +
        answer += (f(a + h * (j - 1)) + 4 * f(a + h * j) +
 +
                  f(a + h * (j + 1)));
 +
    }
 +
    return h * answer / 3;
 +
}
 +
</source>
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
 +
 
 +
== Выводы для классов архитектур ==
  
==== MPI + TBB ====  
+
== Существующие реализации алгоритма ==
  
[[file:Mpi_tbb_1.png|thumb|center|500px|Рисунок 1. Результаты масштабируемости для первой функции]]
+
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Adaptive_Simpson%27s_method Adaptive Simpson's method]
[[file:Mpi_tbb_2.png|thumb|center|500px|Рисунок 2. Результаты масштабируемости для второй функции]]
+
* Якобовский М.В., Кулькова Е.Ю. "Решение задач на многопроцессорных вычислительных системах с разделяемой памятью."
  
==== MPI Farm ====  
+
= Литература =
  
[[file:Mpi_farm_1.png|thumb|center|500px|Рисунок 3. Результаты масштабируемости для первой функции]]
+
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Adaptive_quadrature Adaptive Quadrature Wikipedia]
[[file:Mpi_farm_2.png|thumb|center|500px|Рисунок 4. Результаты масштабируемости для второй функции]]
+
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule Simpson's Rule]
 +
* Якобовский М.В., Кулькова Е.Ю. "Решение задач на многопроцессорных вычислительных системах с разделяемой памятью."

Текущая версия на 00:26, 30 ноября 2016

Основные авторы описания: Д.В.Багаев

Содержание

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Адаптивное интегрирование — метод быстрого вычисления интеграла функции, который использует адаптивное изменение плотности сетки интегрирования. На промежутках, где функция гладкая, сетка разреженная, на промежутках со значительными колебаниями значений сетка гуще для получения необходимой точности.

1.2 Математическое описание алгоритма

Формулы метода:

  1. Интеграл функции вычисляется по квадратурной формуле Симпсона с числом узловых точек равным 4 и 8 на отрезке [math][a, b] [/math].
  2. Вычисляется разность найденных значений
    1. Если разность интегралов меньше либо равна желаемой точности интегрирования ε - заканчиваем процедуру.
    2. Если разность больше, то отрезок разбивается на два : [math][a, \tfrac{a + b} {2}][/math] и [math][\tfrac{a + b} {2}, b][/math] и для каждого отрезка повторяется процедура 1, затем возвращается сумма полученных значений.

Алгоритм имеет рекурсивную природу.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на рекурсивные вызовы, а также на вычисление определенных интегралов методом Симпсона на отрезках, полученных в результате рекурсивного разбиения.

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Простейшую рекурсивную реализацию данного алгоритма , которая не использует ресурсы параллелизма можно посмотреть здесь.

Adaptive integration block.png
#include "SequentialMethod.h"

SequentialMethod::SequentialMethod(double eps, const std::function<double(double)> &f) : IntegrationMethod(eps, f) {}

double SequentialMethod::integrate(double a, double b) {
    double x = simpson(a, b, 4);
    double y = simpson(a, b, 8);
    if (fabs(x - y) < eps) {
        return y;
    } else {
        return integrate(a, (a + b) / 2.0) + integrate((a + b) / 2.0, b);
    }
}

SequentialMethod::~SequentialMethod() {}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Явную формулу сложности последовательного алгоритма выписать не представляется возможным, так как сложность зависит от структуры интегрируемой функции, длины отрезка, а так же необходимой точности.

1.7 Информационный граф

У алгоритма есть несколько возможностей для распараллеливания.
В первом случае можно разбить отрезок на фиксированное число подотрезков, и каждый подотрезок считать на одном процессоре с дальнейшим суммированием результатов с каждого процессора. Внутри процессора используется схема очереди задач. Рекурсия заменяется на операции добавить и достать задачу из общей очереди задач.

Mpi tbb adaptive integral.png


Во втором случае можно использовать управляющий узел для распределения задач между вычислительными узлами. В данном случае можно избежать ситуации, когда интегрируемая функция сильно осциллирует лишь на небольшом участке отрезка и большинство процессоров завершают свою работу раньше и ждут остальных.

Mpi farm adaptive integral.png

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Исходную задачу можно разбить на более мелкие задачи делением отрезка. Каждая задача может быть решаться отдельно от остальных, за счет чего можно достичь высокой масштабируемости.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.9.1 Входные данные

  • Функция.
  • Отрезок интегрирования [math][a, b][/math].
  • Желаемая точность интегрирования [math]\varepsilon[/math].

1.9.2 Выходные данные

  • Определенный интеграл функции на отрезке [a, b] с точностью ε.

1.10 Свойства алгоритма

  • Алгоритм устроен таким образом, что шаг сетки необходимой для вычисления определенного интеграла с заданной точностью адаптируется под сложность функции.
  • Алгоритм является устойчивым
  • Алгоритм является детерминированным

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

Алгоритм не использует и не подразумевает хранение общих данных между вычислительными единицами.

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Алгоритм имеет несколько возможных параллельных реализаций.

2.3.1 Очередь задач на общей памяти

Реализация для эффективного использования многомерного процессора. В данном случае вместо рекурсии используется очередь задач общая для всех ядер процессора.

Плюсы данного подхода:

  • Очень простая реализация

Минусы данного подхода:

  • Нет возможности использовать многопроцессорные кластеры, так как очередь задач находится в общей памяти.
  • Масштабируемость достигается только при увеличении количества ядер в одном процессоре.

2.3.2 Деление на подотрезки

Отрезок интегрирования делится на одинаковые по длине отрезки. Количество этих отрезков определяется числом доступных процессоров. Каждый процессор считает определенный интеграл лишь на своем отрезке используя внутри себя очередь задач в общей памяти.

Плюсы данного подхода:

  • Хорошая масштабируемость на большом классе функций

Минусы данного подхода:

  • Отсутсвие балансировки нагрузки; разброс нагрузок на процессоры может оказаться значительным, что приведет к простою части ядер.

2.3.3 Master-Slave

Можно использовать управляющий узел, который будет распределять нагрузку между вычислительными узлами.

Плюсы данного подхода:

  • Балансировка нагрузки

Минусы данного подхода:

  • Более сложная реализация
  • Хорошая масштабируемость достигается на очень узком классе функций
  • Плохая масштабируемость при очень большом количестве вычислительных узлов, управляющий узел перестает успевать распределять задачи из-за чего большое количество вычислительных узлов простаивают

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Для исследования масштабируемости были проведены серии тестов с различными функциями. Функции и отрезки интегрирования выбирались таким образом, чтобы первоначальное время вычисление интеграла на последовательной версии было существенно большим. Далее проводились замеры времени для каждой реализации. Количество ядер выбиралось равным степени двойки, а также исходя из специфики самой реализации.

Все тесты проводились на суперкомпьютере Ломоносов. Характеристики вычислительного кластера: link.



2.4.1 Очередь задач на общей памяти

Данная реализация показывает практически линейную масштабируемость, но, вследствие использования для параллельности только общей памяти процессора, максимальное количество вычислительных единиц ограничено количеством ядер в одном процессоре.

Shared memory adaptive integral.png

2.4.1.1 Исходный код

GitHub

#include "TBBMethod.h"

TBBMethod::TBBMethod(double eps, const std::function<double(double)> &f) : IntegrationMethod(eps, f) {}

double TBBMethod::integrate(double a, double b) {
    double x = simpson(a, b, 4);
    double y = simpson(a, b, 8);
    if (fabs(x - y) < eps) {
        return y;
    } else {
        tbb::task_group group;

        group.run([&] {
            x = integrate(a, (a + b) / 2.0);
        });

        group.run_and_wait([&] {
            y = integrate((a + b) / 2.0, b);
        });

        return x + y;
    }
}

TBBMethod::~TBBMethod() {}

2.4.2 Деление на подотрезки

Данная реализация практически всегда показывает линейную масштабируемость.

Mpi shared memory adaptive integral.png

2.4.2.1 Исходный код

GitHub

#include "MPI_TBBMethod.h"

MPI_TBBMethod::MPI_TBBMethod(double eps, const std::function<double(double)> &f) : IntegrationMethod(eps, f) {}

double MPI_TBBMethod::tbb_run(double a, double b) {
	double x = simpson(a, b, 4);
    double y = simpson(a, b, 8);
    if (fabs(x - y) < eps) {
        return y;
    } else {
        tbb::task_group group;

        group.run([&] {
            x = tbb_run(a, (a + b) / 2.0);
        });

        group.run_and_wait([&] {
            y = tbb_run((a + b) / 2.0, b);
        });

        return x + y;
    }
}

double MPI_TBBMethod::integrate(double a, double b) {
    double answer = 0.0;
    int nodes = 1;
    MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &nodes);

    int node_id = 0;
    MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &node_id);

    double h = (b - a) / (double) nodes;

    a = a + h * node_id;
    b = a + h;

    double node_answer = tbb_run(a, b);
    MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
    if (node_id == 0) {
    	answer += node_answer;
        for (int i = 1; i < nodes; i++) {
            MPI_Recv(&node_answer, 1, MPI_DOUBLE, MPI_ANY_SOURCE, MPI_ANY_TAG, MPI_COMM_WORLD, MPI_STATUS_IGNORE);
            answer += node_answer;
        }
    } else {
        MPI_Send(&node_answer, 1, MPI_DOUBLE, 0, 0, MPI_COMM_WORLD);
    }

    MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);

	return answer;
}

MPI_TBBMethod::~MPI_TBBMethod() {}

2.4.3 Master-Slave реализация

Данная реализация показывает плохую масштабируемость при очень большом количестве вычислительных узлов. Управляющий узел перестает успевать распределять задачи, поэтому большое число вычислительных узлов простаивает.

Mpi farm adaptive integral tests.png

2.4.3.1 Исходный код

GitHub.

Исходный код для управляющего узла.

#include "Farm.h"

Farm::Farm(int nodes_num, double a, double b, double tau) {
    this->nodes_num = nodes_num;
    this->availableNodes = (int *) calloc((size_t) nodes_num, sizeof(int));
    this->availableNodesCount = nodes_num - 1;
    this->a = a;
    this->b = b;
    this->tau = tau;
    this->answer = 0.0;


    this->jobCount = 0;
    this->jobs = (double *) calloc(FARM_JOBS_BUFFER_SIZE, sizeof(double));
    //Buf structure
    //0 - a
    //1 - b
    //2 - tau, if tau < 0, a = y or exit job

    this->message_buffer = (double *) calloc(FARM_MPI_BUFFER_SIZE, sizeof(double));
    MPI_Buffer_attach(message_buffer, FARM_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double));
    //Main node is always busy
    availableNodes[0] = 1;
}

void Farm::SendInitialJobs() {
    double shift = (b - a) / (nodes_num - 1);
    double *buf = (double *) calloc(3, sizeof(double));
    for (int i = 0; i < nodes_num - 1; i++) {
        buf[0] = a + shift * i;
        buf[1] = buf[0] + shift;
        buf[2] = tau;

        MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, i + 1, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
        availableNodes[i + 1] = 1;
        availableNodesCount -= 1;
    }
}

void Farm::work() {
    double buf[3];
    MPI_Status status;
    while (true) {
        MPI_Recv(buf, 3, MPI_DOUBLE, MPI_ANY_SOURCE, JOB_SAVE_OR_RESULT_TAG, MPI_COMM_WORLD, &status);
        int source = status.MPI_SOURCE;

        if (buf[2] < 0.0) {
            //Node send result
            answer += buf[0];
            if (jobCount != 0) {
                buf[0] = jobs[(jobCount - 1) * 3 + 0];
                buf[1] = jobs[(jobCount - 1) * 3 + 1];
                buf[2] = jobs[(jobCount - 1) * 3 + 2];
                jobCount -= 1;

                MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, source, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
            } else {
                availableNodes[source] = 0;
                availableNodesCount += 1;
                if (availableNodesCount == (nodes_num - 1)) {
                    KillWorkers();
                    break;
                }
            }
        } else {
            //Node send job
            if (availableNodesCount != 0) {
                for (int i = 1; i < nodes_num; i++) {
                    if (availableNodes[i] == 0) {
                        MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, i, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
                        availableNodes[i] = 1;
                        availableNodesCount -= 1;
                        break;
                    }
                }
            } else {
                jobs[jobCount * 3 + 0] = buf[0];
                jobs[jobCount * 3 + 1] = buf[1];
                jobs[jobCount * 3 + 2] = buf[2];
                jobCount += 1;
            }
        }

    }
}

void Farm::KillWorkers() {
    double buf[3];
    buf[2] = -1.0;
    for (int i = 1; i < nodes_num; i++) {
        MPI_Bsend(buf, 3, MPI_DOUBLE, i, JOB_SEND_TAG, MPI_COMM_WORLD);
    }
}

double Farm::Result() {
    return answer;
}

Farm::~Farm() {
    free(jobs);
    int size = FARM_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double);
    MPI_Buffer_detach(message_buffer, &size);
    free(message_buffer);
}

Исходный код для вычислительных узлов.

#include <cmath>
#include "Worker.h"

Worker::Worker(const std::function<double(double)> &f): f(f) {
    this->buf = (double *) calloc(16, sizeof(double));
    this->message_buffer = (double *) calloc(WORKER_MPI_BUFFER_SIZE, sizeof(double));
    MPI_Buffer_attach(message_buffer, WORKER_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double));
}

void Worker::work() {
    while (true) {
        GetJob();
        if (buf[2] > 0.0) {
            Calculate();
        } else {
            break;
        }
    }
}

void Worker::GetJob() {
    MPI_Recv(buf, 3, MPI_DOUBLE, 0, JOB_GET_TAG, MPI_COMM_WORLD, MPI_STATUS_IGNORE);
}

void Worker::Calculate() {
    double a = buf[0];
    double b = buf[1];
    double tau = buf[2];

    while (true) {
        double x = simpson(a, b, 4);
        double y = simpson(a, b, 8);

        if (fabs(x - y) < tau) {
            SendResult(y);
            break;
        } else {
            SaveJob(a, (a + b) / 2, tau / 2);
            a = (a + b) / 2;
            tau = tau / 2;
        }

    }
}

void Worker::SaveJob(double a, double b, double tau) {
    double job[3];
    job[0] = a;
    job[1] = b;
    job[2] = tau;
    MPI_Bsend(job, 3, MPI_DOUBLE, 0, JOB_SAVE_OR_RESULT_TAG, MPI_COMM_WORLD);
}

void Worker::SendResult(double result) {
    double r[3];
    r[0] = result;
    r[1] = 0.0;
    r[2] = -1.0;
    MPI_Bsend(r, 3, MPI_DOUBLE, 0, JOB_SAVE_OR_RESULT_TAG, MPI_COMM_WORLD);
}

Worker::~Worker() {
    free(buf);
    int size = WORKER_MPI_BUFFER_SIZE * sizeof(double);
    MPI_Buffer_detach(message_buffer, &size);
    free(message_buffer);
}


double Worker::simpson(double a, double b, int k) {
    double h = (b - a) / ((double) 2 * k);
    double answer = 0.0;
    for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
        answer += (f(a + h * (j - 1)) + 4 * f(a + h * j) +
                   f(a + h * (j + 1)));
    }
    return h * answer / 3;
}

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

  • Adaptive Simpson's method
  • Якобовский М.В., Кулькова Е.Ю. "Решение задач на многопроцессорных вычислительных системах с разделяемой памятью."

3 Литература

  • Adaptive Quadrature Wikipedia
  • Simpson's Rule
  • Якобовский М.В., Кулькова Е.Ю. "Решение задач на многопроцессорных вычислительных системах с разделяемой памятью."