Алгоритм Гопкрофта-Карпа

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Гопкрофта-Карпа предназначен для решения задачи о назначениях в случае единичных цен. По заданному двудольному графу алгоритм находит максимальное паросочетание за время [math]O(m \sqrt{n})[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

Граф [math]G = (V, E)[/math] называется двудольным, если его вершины можно разделить на две части [math]V = X \sqcup Y[/math], так что каждое ребро [math]e \in E[/math] соединяет вершины из [math]X[/math] и [math]Y[/math]. Набор рёбер [math]M \subseteq E[/math] называется паросочетанием, если каждая вершина [math]v \in V[/math] принадлежит не более чем одному ребру из [math]M[/math]. Требуется найти максимальное паросочетание – паросочетание с максимально возможным числом рёбер.

Вершина [math]v \in V[/math] называется свободной, если она не принадлежит ни одному ребру из [math]M[/math]. Простой путь

[math] P: e_1 = (v_1, v_2), e_2 = (v_2, v_3), \ldots, e_{2k-1} = (v_{2k-1}, v_{2k}) [/math]

называется увеличивающей цепью, если его концы [math]v_1[/math] и [math]v_{2k}[/math] – свободные вершины, а каждое второе ребро принадлежит текущему паросочетанию:

[math] e_2, e_4, \ldots, e_{2k-2} \in M. [/math]

Паросочетание [math]M[/math] является максимальным, если для него не существует увеличивающей цепи.

Множество [math]M'[/math], полученное заменой в [math]M[/math] рёбер [math]e_2, e_4, \ldots, e_{2k-2}[/math] на рёбра [math]e_1, e_3, \ldots, e_{2k-1}[/math], является паросочетанием и содержит на одно ребро больше, чем [math]M[/math]. Множество [math]M' = M \mathop{\Delta} P[/math], где [math]\mathop{\Delta}[/math] обозначает операцию симметрической разности множеств.

На каждом шаге алгоритма Гопкрофта-Карпа строится максимальное по включению множество кратчайших увеличивающих цепей [math]\{ P_1, \ldots, P_q \}[/math], не пересекающихся по вершинам, и текущее паросочетание [math]M[/math] заменяется на [math]M = M \mathop{\Delta} P_1 \mathop{\Delta} P_2 \mathop{\Delta} \dots \mathop{\Delta} P_q[/math]. Гарантируется, что число шагов не превышает [math]2 (\sqrt{\mu} + 1) = O(\sqrt{n})[/math], где [math]\mu[/math] – число рёбер максимального паросочетания.

Для поиска максимального множества кратчайших увеличивающих цепей применяется поиск в ширину с последующим поиском в глубину.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная сложность алгоритма приходится на операции поиска в ширину и поиска в глубину.

1.4 Макроструктура алгоритма

1. Выбрать начальное паросочетание [math]M_0[/math] (например, [math]M_0 = \emptyset[/math] или паросочетание, полученное жадным алгоритмом).
2. Вычислить максимальное по включение множество кратчайших увеличивающих цепей [math]\{ P_1, \ldots, P_q \}[/math], не пересекающихся по вершинам. Если улучшающих цепей не существует, остановиться: текущее паросочетание [math]M_i[/math] является максимальным.
3. Составить новое паросочетание [math]M_{i + 1} = M_i \mathop{\Delta} P_1 \mathop{\Delta} P_2 \mathop{\Delta} \dots \mathop{\Delta} P_q[/math] и перейти к шагу 2.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Опишем, каким образом ищется максимальное множество кратчайших увеличивающих цепей на втором шаге алгоритма.

Пусть [math]G = (V, E)[/math] – двудольный граф с разбиением вершин [math]V = X \sqcup Y[/math], а [math]M[/math] – текущее паросочетание в нём. Обозначим через [math]X_f \subseteq X[/math] и [math]Y_f \subseteq Y[/math] соответствующие множества свободных вершин.

1. Если одно из множеств [math]X_f[/math] или [math]Y_f[/math] пусто, то увеличивающих цепей не существует.
2. Ориентируем рёбра [math]G[/math] следующим образом:
   • рёбра из [math]M[/math] идут из [math]X[/math] в [math]Y[/math];
   • все остальные рёбра идут из [math]Y[/math] в [math]X[/math].
3. Выполним один поиск в ширину на полученном ориентированном графе, двигаясь от множества вершин [math]X_f[/math] в обратном направлении.
   • Поиск останавливается на том шаге, на котором будет посещена хотя бы одна из вершин в [math]Y_f[/math].
   • Если поиск будет завершён без посещения одной из вершин [math]Y_f[/math], то увеличивающих цепей не существует.
   • Пометим вершины и рёбра, посещённые в ходе поиска в ширину.
4. Для каждой из свободных вершин [math]y \in Y_f[/math] выполним поиск в глубину в прямом направлении, двигаясь только по помеченным рёбрам и вершинам.
   • Снимем пометку с посещённых рёбер и вершин.
   • Если на очередном шаге посещена вершина [math]x \in X_f[/math], то поиск останавливается, а текущее содержимое стека определяет кратчайшую увеличивающую цепь от [math]y[/math] к [math]x[/math].
   • Если поиск в глубину завершается без посещения множества [math]X_f[/math], то для данной вершины [math]y[/math] увеличивающей цепи не существует, и необходимо перейти к следующей свободной вершине.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Алгоритм выполняет не более [math]O(\sqrt{n})[/math] шагов, на каждом из которых производятся поиск в ширину и поиск в глубину сложностью [math]O(m)[/math]. Таким образом, общая сложность составляет [math]O(m \sqrt{n})[/math].