Участник:Lonalone/Генерация гауссовского вектора методом линейных преобразований

Автор описания: Меньших И. М.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Из многомерных распределений особый интерес представляет нормальное. Этому закону подчиняются все результаты воздействия большого числа случайных факторов, среди которых нет превалирующих.

В статье приведен алгоритм генерации n-мерного гауссовского случайного вектора с помощью метода линейных преобразований. Известно, что случае нормально распределенного случайного вектора, ковариационная матрица вместе с математическим ожиданием этого вектора полностью определяют его распределение. Поэтому для полного статистического соответствия моделируемого и теоретического распределения гауссовского вектора достаточно обеспечить требуемые значения указанных параметров.

Идея алгоритма заключается в линейном преобразовании n-мерного случайного вектора [math]Y[/math], компоненты которого независимы и одинаково распределены по нормальному закону со стандартными параметрами, в случайный вектор [math]X[/math] с требуемыми ковариационной матрицей и вектором математических ожиданий.

1.2 Математическое описание алгоритма

1.2.1 Метод линейных преобразований

Даны ковариационная матрица [math]\Sigma[/math] и вектор математических ожиданий [math]M[/math]:

[math] \Sigma = \|\sigma_{ij}\| = \| \mathbb{E}[(X_{i} - m_{x_{i}})(X_{j} - m_{x_{j}})]\|, \\ M = (m_{x_{1}}, m_{x_{2}}, ..., m_{x_{n}})^T. [/math]

Требуется найти такую матрицу [math]B[/math], которая позволяла бы получить искомый вектор [math]X[/math] с требуемыми характеристиками в результате линейного преобразования [math]X = BY + M[/math], где [math]Y[/math] — n-мерный случайный вектор с независимыми нормально распределенными компонентами со стандартными параметрами.

Будем искать матрицу [math]B[/math] в виде нижней треугольной матрицы. Перейдем от матричной записи к системе алгебраических уравнений:

[math] \begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \vdots \\ X_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\b_{21} & b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m_{x_{1}} \\ m_{x_{2}} \\ \vdots \\ m_{x_{n}} \end{pmatrix} \Rightarrow [/math]

[math] \begin{cases}X_{1} - m_{x_{1}} = b_{11}Y_{1} \\X_{2} - m_{x_{2}} = b_{21}Y_{1} + b_{22}Y_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\X_{n} - m_{x_{n}} = b_{n1}Y_{1} + b_{n2}Y_{2} + \cdots + b_{nn}Y_{n} \end{cases} [/math]

Поскольку компоненты вектора [math]Y[/math] независимы и имеют стандартные параметры, справедливо выражение:

[math] \mathbb{E}[Y_{i}Y_{j}] = \left\{\begin{matrix} 1, &i = j, \\ 0, &i \not= j. \end{matrix}\right. [/math]

Почленно перемножив сами на себя и между собой соответственно левые и правые части уравнений системы и взяв от результатов перемножения математическое ожидание, получаем систему уравнений вида:

[math] \begin{cases} \mathbb{E}[(X_{1} - m_{x_{1}})(X_{1} - m_{x_{1}})] = \mathbb{E}[b_{11}Y_{1}b_{11}Y_{1}], \\ \mathbb{E}[(X_{1} - m_{x_{1}})(X_{2} - m_{x_{2}})] = \mathbb{E}[(b_{21}Y_{1} + b_{22}Y_{2})b_{11}Y_{1}], \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{cases} [/math]

Таким образом, в левых частях полученной системы уравнений располагаются элементы заданной ковариационной матрицы [math]\Sigma[/math], а в правых — элементы искомой матрицы [math]B[/math]. Последовательно решая эту систему, получаем формулы для расчета элементов [math]\sigma_{ij}[/math]:

[math] b_{11}=\sqrt{\sigma_{11}}; b_{21}=\frac{\sigma_{12}}{\sqrt{\sigma_{11}}}; b_{22} = \sqrt{\sigma_{22} - \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}}, \cdots [/math]

Рекуррентная формула для расчета любого элемента матрицы преобразования [math]B[/math] имеет вид:

[math] b_{ij} = \frac {\sigma_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} b_{ik} b_{jk}} {\sqrt{\sigma_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} b_{jk}^2}}, \quad 1 \leqslant j \leqslant i \leqslant n [/math]

(суммы с верхним нулевым пределом считаются равными нулю)

Таким образом, матрица [math]B[/math] получается с помощью разложения Холецкого матрицы [math]\Sigma[/math].

1.2.2 Генерация случайного вектора Y

Пусть имеется генератор псевдослучайных чисел (ГПСЧ, PRNG), с помощью которого можно получить реализацию случайной величины [math]u \sim U(0,1) [/math]. Описанный выше случайный вектор [math]Y=(y_1, \dots, y_n)[/math] с независимыми компонентами составим из [math]n[/math] реализаций случайной величины [math]\eta \sim N(0,1)[/math]. Каждую такую реализацию [math]y_i[/math], в свою очередь, получим с помощью приближения по ЦПТ [math]\kappa[/math] случайными величинами, распределенными равномерно на отрезке [0,1]:

[math] y_i = \sqrt{\frac{12}{\kappa}} \left(\sum_{j=1}^{\kappa}{u_j^i} - \frac{\kappa}{2}\right), \quad i = \overline{1, n} \\ [/math]

где [math]u_j^i - [/math] реализации случайной величины [math]u[/math], а [math]\kappa - [/math] параметр, обеспечивающий качество приближения.

Как правило, [math]\kappa[/math] берут равным [math]12[/math] и считают, что для подавляющего числа практических задач обеспечивается должная точность вычислений.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма можно составить из множественных (всего [math]\frac{n(n−1)}{2}[/math]) вычислений следующих выражений, включающих скалярные произведения строк матрицы:

[math]\sigma_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} b_{ik} b_{jk}, \quad 1 \leqslant j \leqslant i \leqslant n[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

• Заполнение матрицы [math]B[/math]
• Генерация вектора [math]Y[/math]
• Вычисление вектора [math]X = BY + M[/math]

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1) Заполнение матрицы [math]B[/math].

(a) [math]b_{11}= \sqrt{\sigma_{11}}[/math]

(b) [math]b_{k1}= \frac{\sigma_{k1}}{l_{11}}[/math], [math]\quad k = \overline{2,n}[/math]

Следующие два пункта выполняются циклически, друг за другом для [math]i = \overline{2,n}[/math].

(c) [math]b_{ii} = \sqrt{\sigma_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} b_{ip}^2}[/math]

(d) [math]b_{ji} = \frac{\sigma_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} b_{ip} b_{jp}} {l_{ii}}[/math], [math]\quad i \neq n, j = \overline{i+1,n}[/math]

2) Генерация вектора [math]Y[/math].

Следующие два пункта выполняются циклически, друг за другом для [math]i = \overline{1,n}[/math].

(a) [math]u_j^i \leftarrow PRNG,[/math] [math]\quad j = \overline{1,k}[/math]

(b) [math]y_i = \sqrt{\frac{12}{\kappa}} \left(\sum_{j=1}^{\kappa}{u_j^i} - \frac{\kappa}{2}\right)[/math]

3) Вычисление вектора [math]X[/math].

[math]x_i = m_{x_i} + \sum_{k = 1}^{i} b_{ik} y_{k}, \quad i = \overline{1,n}[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для генерации гауссовского случайного вектора порядка [math]n[/math] в последовательном варианте требуется:

• [math] n(n+1) + \frac {n(n-1)(n-2)}{6} [/math] (умножений)
• [math] \frac {n(n+1)}{2} + \frac {n(n-1)(n-2)}{6} [/math] (вычитаний)
• [math] \frac {n(n-1+2\kappa)}{2} [/math] (сложений)
• [math] \frac {n(n+3)}{2} [/math] (делений)
• [math] 2n [/math] (вычислений квадратного корня)

[math] \frac{n}{6}\left(2n^2+9n+31+6\kappa\right) [/math] - итого операций.

Таким образом, последовательная сложность алгоритма равна [math]O(n^3)[/math].

1.7 Информационный граф

1.7.1 Заполнение матрицы B

Граф этапа 1 макроструктуры алгоритма (разложения Холецкого) состоит из трёх групп вершин, расположенных в целочисленных узлах трёх областей разной размерности.

Первая группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию SQRT. Единственная координата каждой из вершин [math]i[/math] меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргумент этой функции

• при [math]i = 1[/math] — элемент входных данных [math]\sigma_{11}[/math];
• при [math]i \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i - 1[/math], [math]i[/math], [math]i - 1[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]b_{ii}[/math].

Вторая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция [math]a / b[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n-1[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]i+1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math]:
  • при [math]i = 1[/math] — элемент входных данных [math]\sigma_{j1}[/math];
  • при [math]i \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i - 1, j, i - 1[/math];
• [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой [math]i[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]b_{ji}[/math].

Третья группа вершин расположена в трёхмерной области, соответствующая ей операция [math]a - b * c[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]2[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]i[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]p[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]i - 1[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math]:
  • при [math]p = 1[/math] элемент входных данных [math]\sigma_{ji}[/math];
  • при [math]p \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i, j, p - 1[/math];
• [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]p, i[/math];
• [math]c[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]p, j[/math];

Результат срабатывания операции является промежуточным данным этапа.

Описанный граф можно посмотреть на рис.1, выполненном для случая [math]n = 4[/math].

Рисунок 1. Граф этапа 1 макроструктуры алгоритма. SQ — вычисление квадратного корня, F — операция a-bc, Div — деление, In — входные данные, Out — выходные.

1.7.2 Генерация вектора Y

Граф этапа 2 макроструктуры алгоритма состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двумерной области.

Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]\kappa[/math], принимая все целочисленные значения.

Первая группа вершин. Соответствующая ей операция вычисляет функцию [math]S = a+b[/math].

Аргументы операции следующие:

• [math]a:[/math]
  • при [math]j=1[/math] — константа [math]0[/math];
  • при [math]j\gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатами [math]i,j-1[/math];
• [math]b[/math] — элемент входных данных — значение, поступающее с [math]PRNG[/math].

Результат срабатывания операции является промежуточным данным этапа.

Вторая группа вершин. Соответствующая ей операция вычисляет функцию [math]F = \left(a-\frac{\kappa}{2}\right)\sqrt{\frac{12}{\kappa}}[/math].

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатами [math]i,\kappa[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным этапа [math]y_i[/math].

Описанный граф можно посмотреть на рис.2, выполненном для случая [math]n = 2, \kappa = 2[/math].

Рисунок 2. Граф этапа 2 макроструктуры алгоритма

1.7.3 Вычисление вектора X

Граф этапа 3 макроструктуры алгоритма (умножение нижней треугольной матрицы на вектор и сложение результата с другим вектором) состоит из одной группы вершин, расположенной в целочисленных узлах двумерной области, соответствующая ей операция [math]a+bc[/math].

Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math]:
  • при [math]j = 1[/math] — компонента [math]m_{x_i}[/math] вектора [math]M[/math];
  • при [math]j \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине с координатами [math]i, j-1[/math];
• [math]b[/math] — элемент входных данных [math]b_{ij}[/math];
• [math]c[/math] — элемент входных данных [math]y_{j}[/math];

Результат срабатывания операции является:

• при [math]j \lt i[/math] — промежуточным данным этапа;
• при [math]j = i[/math] — выходным данным алгоритма [math]x_i[/math].

Описанный граф можно посмотреть на рис.3, выполненном для случая [math] n = 4[/math].

Рисунок 3. Граф этапа 3 макроструктуры алгоритма, F — операция a+bc

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для разложения Холецкого [math](n \times n)[/math] матрицы [math]\Sigma[/math] в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

• [math]n[/math] ярусов с вычислением квадратного корня (единичные вычисления в каждом из ярусов),
• [math]n - 1[/math] ярус делений (в каждом из ярусов — линейное количество операций, в зависимости от яруса — от [math]1[/math] до [math]n - 1[/math]),
• по [math]n - 1[/math] ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — квадратичное количество операций, от [math]1[/math] до [math]\frac{n^2 - n}{2}[/math]).

Для генерации [math](n)[/math] вектора [math]Y[/math] в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

• [math]\kappa[/math] ярусов сложений ([math]n[/math] операций в каждом из ярусов),
• [math]1[/math] ярус вычитаний, делений, умножений, вычислений квадратного корня ([math]n, 2n, n, n[/math] операций соответственно),

Для вычисления [math](n)[/math] вектора [math]X[/math] в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

• [math]n[/math] ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — линейное количество операций, в зависимости от яруса — от [math]1[/math] до [math]n[/math])

Учитывая [math]n \gg \kappa[/math], можно заключить: при классификации по высоте ЯПФ алгоритм имеет сложность [math]O(n)[/math], при классификации по ширине — [math]O(n^2)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

• Входные данные: вещественная всюду плотная положительно определенная симметрическая [math](n \times n)[/math] матрица [math]\Sigma[/math] и вещественный [math](n)[/math] вектор [math]M[/math];
• Выходные данные: вещественный [math](n)[/math] вектор [math]X[/math].

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

// compute matrix B (core)
for (int j = 0; j < n; j++){
    double sum_down = matrix_cov[j][j];
    for (int k = 0; k < j; k++){
        double cur = matrix_cov[j][k];
        sum_down -= cur * cur;
    }
    matrix_cov[j][j] = sqrt(sum_down);
    for (int i = j + 1; i < n; i++){
        double sum_up = matrix_cov[i][j];
        for (int k = 0; k < j; k++){
            sum_up -= matrix_cov[i][k] * matrix_cov[j][k];
        }
        matrix_cov[i][j] = sum_up / matrix_cov[j][j];
    }
}
// generate vector Y
for (int i = 0; i < n; i++){
    double sum = generate_uniform(n);
    for (int j = 0; j < CLT_NUM - 1; j++){
        sum += generate_uniform(n);
    }
    vec_Y[i] = (sum - CLT_NUM / 2) * sqrt(12.0 / CLT_NUM);
}
// linear transformation
for (int i = 0; i < n; i++){  
    vec_X[i] = vec_exp[i];
    for (int k = 0; k <= i; k++){
        vec_X[i] += matrix_cov[i][k] * vec_Y[k];
    }
}

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

В данной реализации алгоритма весь ресурс параллелизма использован в следующих этапах:

• вычисление элементов матрицы [math]B[/math] в рамках столбца (под диагональю),
• генерация вектора [math]Y[/math],
• вычисление вектора [math]X[/math] (умножение матрицы на вектор, сложение векторов).

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета. Алгоритм был реализован на языке C++ с использованием Intel MPI Library и запущен на кластере regular4.

Параметры компиляции и запуска:

module add slurm
module add impi/5.0.1
mpicxx -std=c++0x task.c -o _scratch/task
sbatch -n256 impi ./task <matrix_size>

Параметры запуска:

• размер матрицы [1024 : 4864] с шагом 256,
• число ядер [2 : 256] с шагом по степеням 2.

Рисунок 4. Изменение производительности в зависимости от числа ядер и размера матрицы.

Рисунок 5. Изменение эффективности реализации в зависимости от числа ядер и размера матрицы.

Рисунок 6. Изменение эффективности реализации, вид сверху.

Оценка масштабируемости:

• По размеру задачи — при увеличении размерности матрицы эффективность реализации постепенно увеличивается, при этом тем быстрее, чем большее число ядер задействовано.
• По числу ядер — при увеличении числа mpi-процессов эффективность реализации снижается. Это объясняется ростом накладных расходов на организацию параллельного выполнения. При этом с ростом размерности матрицы эффективность снижается с такой же скоростью, но уже при больших значениях числа mpi-процессов.
• По двум направлениям — эффективность реализации возрастает (на рассматриваемой области значений параметров), но крайне медленно.

Параллельная реализация на C++

2.7 Существующие реализации алгоритма

MS Excel и распространённые статистические пакеты (напр., SPSS, Statistica) позволяют моделировать только одномерные статистические распределения. Имеется возможность "собрать" многомерное распределение из нескольких одномерных при условии, что компоненты независимы. Однако если необходимо исследовать данные с зависящими друг от друга переменными, то приходится писать собственную программу. При этом удобно воспользоваться готовой реализацией разложения Холецкого (точечного метода), представленной в таких прикладных пакетах, как LINPACK, LAPACK, SCALAPACK.