Уровень алгоритма

Разложение Холецкого (метод квадратного корня): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][досмотренная версия]
 
(не показана 91 промежуточная версия 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
{| style="float:{{{float|right}}}; clear:right;margin-left: 1em; width:{{{width|30%}}};" cellpadding=8 cellspacing=1 border=0
+
{{algorithm
−
|-
+
| name              = Разложение Холецкого
−
|align=left width=100% style="background-color:#f3f3ff; border:1px solid"|
+
| serial_complexity = <math>O(n^3)</math>
−
'''Свойства алгоритма:'''
+
| pf_height        = <math>O(n)</math>
−
* Последовательная сложность алгоритма:<nowiki/> <math>O(n^3)</math>
+
| pf_width          = <math>O(n^2)</math>
−
* Высота ярусно-параллельной формы:<nowiki/> <math>O(n)</math>
+
| input_data        = <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math>
−
* Ширина ярусно-параллельной формы:<nowiki/> <math>O(n^2)</math>
+
| output_data      = <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math>
−
* Объём входных данных:<nowiki/> <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math>
+
}}
−
* Объём выходных данных:<nowiki/> <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math>
 
−
|}
 
  
−
== Описание свойств и структуры алгоритма ==
+
Основные авторы описания: [[Участник:Frolov|А.В.Фролов]]
 +
 
 +
== Свойства и структура алгоритма ==
  
 
=== Общее описание алгоритма ===
 
=== Общее описание алгоритма ===
  
 +
'''Разложение Холецкого''' впервые предложено французским офицером и математиком Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем<ref>Commandant Benoit, Note sur une méthode de résolution des équations normales provenant de l'application de la méthode des moindres carrés à un système d'équations linéaires en nombre inférieur à celui des inconnues (Procédé du Commandant Cholesky), Bulletin Géodésique 2 (1924), 67-77.</ref>.  Потом оно было использовано поляком Т. Банашевичем<ref>Banachiewicz T. Principles d'une nouvelle technique de la méthode des moindres carrês. Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. A., 1938,  134-135.</ref><ref>Banachiewicz T. Méthode de résoltution numérique des équations linéaires, du calcul des déterminants et des inverses et de réduction des formes quardatiques. Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. A., 1938, 393-401.</ref> в 1938 г. В советской математической литературе называется также методом квадратного корня<ref>Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref><ref>Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref><ref>Фаддеев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные основы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963.</ref>; название связано с характерными операциями, отсутствующими в родственном разложении Гаусса.
 +
 +
Первоначально разложение Холецкого использовалось исключительно для плотных симметричных положительно определенных матриц. В настоящее время его использование гораздо шире. Оно может быть применено также, например, к эрмитовым матрицам. Для  повышения производительности вычислений часто применяется блочная версия разложения.
 +
 +
Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией.
  
−
'''Разложение Холецкого''' (в советской математической литературе называется также '''методом квадратного корня'''; название связано с одной из ключевых повторяющихся операций алгоритма, не использующейся в алгоритмах типа Гаусса и Жордана) впервые предложено французским офицером и математиком польского происхождения Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем. Потом использовано поляком Т. Банашевичем в 1938 г. Используется для разложения положительно определённых эрмитовых (''в вещественном случае - симметрических'') матриц в виде <math>A = L L^*</math> (<math>L</math> — [http://lineal.guru.ru/lineal3/texts.php?PHPSESSID=e8862lf95ipuht6hb7bd6vl1m6&&rd=3368 левая треугольная матрица]) или в виде <math>A = U^* U</math> (<math>U</math> — [http://lineal.guru.ru/lineal3/texts.php?PHPSESSID=e8862lf95ipuht6hb7bd6vl1m6&&rd=3368 правая треугольная матрица] ; эти разложения совершенно эквивалентны друг другу по вычислениям и различаются только способом представления данных). Он заключается в реализации формул для элементов матрицы <math>L</math>, получающихся из вышеприведённого равенства единственным образом. Получил распространение благодаря следующим особенностям.
+
Варианты разложения Холецкого нашли успешные применения и в итерационных методах для построения переобусловливателей разреженных симметричных положительно определенных матриц. В неполном треугольном разложении («по позициям») элементы переобусловливателя вычисляются только в заранее заданных позициях, например, в позициях ненулевых элементов исходной матрицы (так называемое разложение IC0). Для получения же более точного разложения применяется приближение, в котором фильтрация малых элементов производится «по значениям». В зависимости от используемого порога фильтрации можно получить более точное, но и более заполненное разложение. Существует и алгоритм разложения второго порядка точности<ref>Kaporin I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive definite matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition. Numer. Lin. Algebra Appl. (1998) Vol. 5, No. 6, 483-509.</ref>. В нём при таком же заполнении множителей разложения удается улучшить точность. Для такого разложения в параллельном режиме используется специальный вариант аддитивного переобуславливания на основе разложения второго порядка<ref>Капорин И.Е., Коньшин И.Н. Параллельное решение симметричных положительно-определенных систем на основе перекрывающегося разбиения на блоки. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,  2001, Т, 41, N. 4, C. 515–528.</ref>.
  
 +
На этой странице представлено исходное разложение Холецкого с новых позиций нашего суперкомпьютерного века. Приведено описание конкретной версии разложения Холецкого — для плотных вещественных симметричных положительно определённых матриц, но структура для ряда других версий, например, для комплексного случая, почти такая же, различия состоят в замене большинства вещественных операций на комплексные. Список остальных основных вариантов разложения можно посмотреть на странице [[Метод Холецкого (нахождение симметричного треугольного разложения)]].
  
−
==== Симметричность матрицы ====
+
Используется для разложения положительно определённых эрмитовых (''в вещественном случае - симметрических'') матриц в виде <math>A = L L^*</math>,  <math>L</math> — нижняя треугольная матрица,
 +
{{Шаблон:LCommon}}
 +
или в виде <math>A = U^* U</math>, <math>U</math> — верхняя треугольная матрица,
 +
{{Шаблон:UCommon}}
 +
Эти разложения совершенно эквивалентны друг другу по вычислениям и различаются только способом представления данных). Он заключается в реализации формул для элементов матрицы <math>L</math>, получающихся из вышеприведённого равенства единственным образом. Получило широкое распространение благодаря следующим особенностям.
  
−
Симметричность матрицы позволяет хранить и вычислять только чуть больше половины её элементов, что почти вдвое экономит как необходимые для вычислений объёмы памяти, так и количество операций в сравнении с, например, разложением по методу Гаусса. При этом альтернативное (без вычисления квадратных корней) LU-разложение, использующее симметрию матрицы, всё же несколько быстрее метода Холецкого (не использует извлечение квадратных корней), но требует хранения всей матрицы. Ограниченность памяти первых компьютеров оказалась решающей для вычислителей того времени.
+
==== Симметричность и положительная определённость матрицы ====
 +
 
 +
Симметричность матрицы позволяет хранить и вычислять только чуть больше половины её элементов, что почти вдвое экономит как необходимые для вычислений объёмы памяти, так и количество операций в сравнении с, например, разложением по методу Гаусса. При этом альтернативное (без вычисления квадратных корней) LU-разложение, использующее симметрию матрицы, всё же несколько быстрее метода Холецкого (не использует извлечение квадратных корней), но требует хранения всей матрицы.  
 +
Благодаря тому, что разлагаемая матрица не только симметрична, но и положительно определена, её LU-разложения, в том числе и разложение методом Холецкого, имеют наименьшее ''[[Глоссарий#Эквивалентное возмущение|эквивалентное возмущение]]'' из всех известных разложений матриц.
  
 
==== Режим накопления ====
 
==== Режим накопления ====
−
Алгоритм позволяет использовать так называемый ''режим накопления'', обусловленный тем, что значительную часть вычислений составляют ''вычисления скалярных произведений''; с его использованием разложение методом Холецкого имеет наименьшее ''[[Глоссарий#Эквивалентное возмущение|эквивалентное возмущение]]'' из всех известных разложений матриц.
 
  
−
=== Математическое описание ===
+
Алгоритм позволяет использовать так называемый ''режим накопления'', обусловленный тем, что значительную часть вычислений составляют ''вычисления скалярных произведений''.
 +
 
 +
=== Математическое описание алгоритма ===
  
 
Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>).
 
Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>).
  
−
Вычисляемые данные: левая треугольная матрица <math>L</math> (элементы <math>l_{ij}</math>).
+
Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица <math>L</math> (элементы <math>l_{ij}</math>).
  
 
Формулы метода:
 
Формулы метода:
Строка 51: Строка 65:
 
:<math>\sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}</math>
 
:<math>\sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}</math>
  
−
в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи. В отечественных реализациях, даже в последовательных, упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что даже в этих реализациях метода вычисление сумм типа
+
в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи. Во многих последовательных реализациях упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что в них вычисление сумм типа
  
 
:<math>a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}</math><nowiki/>
 
:<math>a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}</math><nowiki/>
Строка 71: Строка 85:
 
в режиме накопления или без него.
 
в режиме накопления или без него.
  
−
=== Описание схемы реализации последовательного алгоритма ===
+
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
  
 
Последовательность исполнения метода следующая:
 
Последовательность исполнения метода следующая:
Строка 95: Строка 109:
 
* <math>n</math> вычислений квадратного корня,
 
* <math>n</math> вычислений квадратного корня,
 
* <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> делений,
 
* <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> делений,
−
* по <math>\frac{n^3-n}{6}</math> умножений и сложений (вычитаний) — ''основная часть алгоритма''.
+
* <math>\frac{n^3-n}{6}</math> сложений (вычитаний),
 +
* <math>\frac{n^3-n}{6}</math> умножений.
 +
 
 +
Умножения и сложения (вычитания) составляют ''основную часть алгоритма''.
 
   
 
   
 
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает долю умножений и сложений/вычитаний во времени, требуемом для выполнения метода Холецкого.
 
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает долю умножений и сложений/вычитаний во времени, требуемом для выполнения метода Холецкого.
Строка 103: Строка 120:
 
=== Информационный граф ===
 
=== Информационный граф ===
  
−
Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.  
+
Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]]<ref>Воеводин В.В.  Математические основы параллельных вычислений// М.: Изд. Моск. ун-та, 1991. 345 с.</ref><ref>Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ - Петербург, 2002. – 608 с.</ref><ref>Фролов А.В.. Принципы построения и описание языка Сигма. Препринт ОВМ АН N 236. М.: ОВМ АН СССР, 1989.</ref> как аналитически, так и в виде рисунка.  
  
 
Граф алгоритма состоит из трёх групп вершин, расположенных в целочисленных узлах трёх областей разной размерности.
 
Граф алгоритма состоит из трёх групп вершин, расположенных в целочисленных узлах трёх областей разной размерности.
  
 
'''Первая''' группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию SQRT.  
 
'''Первая''' группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию SQRT.  
−
Естественно введённая единственная координата каждой из вершин <math>i</math> меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n</math>, принимая все целочисленные значения.
+
Единственная координата каждой из вершин <math>i</math> меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n</math>, принимая все целочисленные значения.
  
 
Аргумент этой функции  
 
Аргумент этой функции  
Строка 116: Строка 133:
 
Результат срабатывания операции является ''выходным данным'' <math>l_{ii}</math>.
 
Результат срабатывания операции является ''выходным данным'' <math>l_{ii}</math>.
  
−
'''Вторая''' группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция <math>a / b</math>.  
+
'''Вторая''' группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция <math>a / b</math>.  
 
Естественно введённые координаты области таковы:  
 
Естественно введённые координаты области таковы:  
 
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n-1</math>, принимая все целочисленные значения;
 
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n-1</math>, принимая все целочисленные значения;
Строка 144: Строка 161:
 
Результат срабатывания операции является ''промежуточным данным'' алгоритма.
 
Результат срабатывания операции является ''промежуточным данным'' алгоритма.
  
−
Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая <math>n = 4</math>. Здесь вершины первой группы обозначены жёлтым цветом и буквосочетанием sq, вершины второй — зелёным цветом и знаком деления, третьей — красным цветом и буквой f. Вершины, соответствующие операциям, производящим выходные данные алгоритма, выполнены более крупно. Дублирующие друг друга дуги даны как одна. На первом изображении показан граф алгоритма согласно классическому определению , на втором к графу алгоритма добавлены вершины , соответствующие входным данным ( обозначены синим цветом ) и выходным данным ( обозначены розовым цветом ).
+
Описанный граф можно посмотреть на рис.1 и рис.2, выполненных для случая <math>n = 4</math>. Здесь вершины первой группы обозначены жёлтым цветом и буквосочетанием sq, вершины второй — зелёным цветом и знаком деления, третьей — красным цветом и буквой f. Вершины, соответствующие операциям, производящим выходные данные алгоритма, выполнены более крупно. Дублирующие друг друга дуги даны как одна. На рис.1 показан граф алгоритма согласно классическому определению , на рис.2 к графу алгоритма добавлены вершины , соответствующие входным (обозначены синим цветом) и выходным (обозначены розовым цветом) данным.
 +
 
 +
[[file:Cholesky full.png|thumb|center|1400px|Рисунок 1. Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление.]]
 +
[[file:Cholesky full_in_out.png|thumb|center|1400px|Рисунок 2. Граф алгоритма с отображением входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление, In - входные данные, Out - результаты.]]
  
−
[[file:Cholesky full.png|thumb|center|1400px|Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление.]]
+
<center>
−
[[file:Cholesky full_in_out.png|thumb|center|1400px|Граф алгоритма с отображением входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление, In - входные данные, Out - результаты.]]
+
{{#widget:Algoviewer
 +
|url=cholesky/Algo_view_cholesky4.html
 +
|width=1300
 +
|height=800
 +
|border=1
 +
}}
 +
<br/>
 +
Интерактивное изображение графа алгоритма без входных и выходных данных для n = 4.
 +
</center>
  
−
=== Описание ресурса параллелизма алгоритма ===
+
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
  
 
Для разложения матрицы порядка <math>n</math> методом Холецкого в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
 
Для разложения матрицы порядка <math>n</math> методом Холецкого в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
Строка 160: Строка 188:
 
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения метода Холецкого в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает увеличение требуемой памяти почти в 2 раза.
 
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения метода Холецкого в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает увеличение требуемой памяти почти в 2 раза.
  
−
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод Холецкого относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет ''квадратичной''.
+
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод Холецкого относится к алгоритмам со сложностью <math>O(n)</math>. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет <math>O(n^2)</math>.
  
−
=== Описание входных и выходных данных ===
+
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
  
 
'''Входные данные''': плотная матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>).
 
'''Входные данные''': плотная матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>).
Строка 169: Строка 197:
 
* <math>A</math> – положительно определённая матрица, т. е. для любых ненулевых векторов <math>\vec{x}</math> выполняется <math>\vec{x}^T A \vec{x} > 0</math>.
 
* <math>A</math> – положительно определённая матрица, т. е. для любых ненулевых векторов <math>\vec{x}</math> выполняется <math>\vec{x}^T A \vec{x} > 0</math>.
  
−
'''Объём входных данных''': <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в библиотеке, реализованной в НИВЦ МГУ, матрица A хранилась в одномерном массиве длины <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> по строкам своей нижней части.  
+
'''Объём входных данных''': <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в библиотеке, реализованной в НИВЦ МГУ, матрица A хранилась в одномерном массиве длины <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> по строкам своего нижнего треугольника.  
  
−
'''Выходные данные''': левая треугольная матрица <math>L</math> (элементы <math>l_{ij}</math>).
+
'''Выходные данные''': нижняя треугольная матрица <math>L</math> (элементы <math>l_{ij}</math>).
  
−
'''Объём выходных данных''': <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math>  (в силу треугольности достаточно хранить только ненулевые - диагональ и поддиагональные - элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в той же  библиотеке, созданной в НИВЦ МГУ, матрица <math>L</math> хранилась в одномерном массиве длины <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> по строкам своей нижней части.
+
'''Объём выходных данных''': <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math>  (в силу треугольности достаточно хранить только ненулевые элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в той же  библиотеке, созданной в НИВЦ МГУ, матрица <math>L</math> хранилась в одномерном массиве длины <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> по строкам своей нижней части.
  
 
=== Свойства алгоритма ===
 
=== Свойства алгоритма ===
Строка 187: Строка 215:
 
Наиболее известной является компактная укладка графа — его проекция на треугольник матрицы, который перевычисляется укладываемыми операциями. При этом «длинные» дуги можно убрать, заменив более дальнюю пересылку комбинацией нескольких ближних (к соседям).
 
Наиболее известной является компактная укладка графа — его проекция на треугольник матрицы, который перевычисляется укладываемыми операциями. При этом «длинные» дуги можно убрать, заменив более дальнюю пересылку комбинацией нескольких ближних (к соседям).
  
−
Эквивалентное возмущение у метода Холецкого всего вдвое больше, чем возмущение, вносимое в матрицу при вводе чисел в компьютер. Это явление обусловлено положительной определённостью матрицы. Среди всех используемых разложений матриц это наименьшее из эквивалентных возмущений.
+
[[Глоссарий#Эквивалентное возмущение|Эквивалентное возмущение]] <math>M</math> у метода Холецкого всего вдвое больше, чем возмущение <math>\delta A</math>, вносимое в матрицу при вводе чисел в компьютер:
 +
<math>
 +
||M||_{E} \leq 2||\delta A||_{E}
 +
</math>
 +
 
 +
Это явление обусловлено положительной определённостью матрицы. Среди всех используемых разложений матриц это наименьшее из эквивалентных возмущений.
  
−
== Программная реализация ==
+
== Программная реализация алгоритма ==
  
 
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
 
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
Строка 198: Строка 231:
 
S = A(I,I)
 
S = A(I,I)
 
DO  IP=1, I-1
 
DO  IP=1, I-1
−
S = S - DPROD(A(I,P), A(I,IP))
+
S = S - DPROD(A(I,IP), A(I,IP))
 
END DO
 
END DO
 
A(I,I) = SQRT (S)
 
A(I,I) = SQRT (S)
Строка 204: Строка 237:
 
S = A(J,I)
 
S = A(J,I)
 
DO  IP=1, I-1
 
DO  IP=1, I-1
−
S = S - DPROD(A(I,P), A(J,IP))
+
S = S - DPROD(A(I,IP), A(J,IP))
 
END DO
 
END DO
 
A(J,I) = S/A(I,I)
 
A(J,I) = S/A(I,I)
Строка 212: Строка 245:
 
При этом для реализации режима накопления переменная <math>S</math> должна быть двойной точности.  
 
При этом для реализации режима накопления переменная <math>S</math> должна быть двойной точности.  
  
−
Для метода Холецкого существует блочная версия, которая отличается от точечной не тем, что операции над числами заменены на аналоги этих операций над блоками; её построение основано на том, что практически все циклы точечной версии имеют тип SchedDo в терминах методологии, основанной на исследовании информационного графа и, следовательно, могут быть расщеплены на составляющие. Тем не менее, обычно блочную версию метода Холецкого записывают не в виде программы с расщеплёнными и переставленными циклами, а в виде программы, подобной реализации точечного метода, в которой вместо соответствующих скалярных операций присутствуют операции над блоками.
+
Отдельно следует обратить внимание на используемую в такой реализации функцию DPROD. Её появление как раз связано с тем, как математики могли использовать режим накопления вычислений. Дело в том, что, как правило, при выполнении умножения двух чисел с плавающей запятой сначала результат получается с удвоенными длинами мантиссы и порядка, и только при выполнении присваивания переменной одинарной точности результат округляется. Эта возможность даёт выполнять умножение действительных чисел с двойной точностью без предварительного приведения их к типу двойной точности. На ранних этапах развития вычислительных библиотек снятие результата без округление реализовали вставками специального кода в фортран-программы, но уже в 70-х гг. XX века в ряде трансляторов Фортрана появилась функция DPROD, реализующая это без обращения программиста к машинным кодам. Она была закреплена среди стандартных функций в стандарте Фортран 77, и реализована во всех современных трансляторах Фортрана.
 +
 
 +
Для метода Холецкого существует блочная версия, которая отличается от точечной не тем, что операции над числами заменены на аналоги этих операций над блоками; её построение основано на том, что практически все циклы точечной версии имеют тип SchedDo в терминах методологии, основанной на исследовании информационного графа и, следовательно, могут быть развёрнуты. Тем не менее, обычно блочную версию метода Холецкого записывают не в виде программы с развёрнутыми и переставленными циклами, а в виде программы, подобной реализации точечного метода, в которой вместо соответствующих скалярных операций присутствуют операции над блоками.
  
−
Для обеспечения локальности работы с памятью представляется более эффективной такая схема метода Холецкого (полностью эквивалентная описанной), когда исходная матрица и её разложение хранятся не в нижнем-левом, а в правом-верхнем треугольнике. Это связано с особенностью размещения массивов в Фортране и тем, что в этом случае вычисления скалярных произведений будут идти с выборкой идущих подряд элементов массива.  
+
Особенностью размещения массивов в Фортране является хранение их "по столбцам" (быстрее всего меняется первый индекс). Поэтому для обеспечения локальности работы с памятью представляется более эффективной такая схема метода Холецкого (полностью эквивалентная описанной), когда исходная матрица и её разложение хранятся не в нижнем, а в верхнем треугольнике. Тогда при вычислениях скалярных произведений программа будет "идти" по последовательным ячейкам памяти компьютера.
  
 
Есть и другой вариант точечной схемы: использовать вычисляемые элементы матрицы <math>L</math> в качестве аргументов непосредственно «сразу после» их вычисления. Такая программа будет выглядеть так:
 
Есть и другой вариант точечной схемы: использовать вычисляемые элементы матрицы <math>L</math> в качестве аргументов непосредственно «сразу после» их вычисления. Такая программа будет выглядеть так:
Строка 232: Строка 267:
 
Как видно, в этом варианте для реализации режима накопления одинарной точности мы должны будем объявить двойную точность для массива, хранящего исходные данные и результат. Подчеркнём, что [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] обеих схем - один и тот же (из п.1.7), если не считать изменением замену умножения на функцию DPROD!
 
Как видно, в этом варианте для реализации режима накопления одинарной точности мы должны будем объявить двойную точность для массива, хранящего исходные данные и результат. Подчеркнём, что [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] обеих схем - один и тот же (из п.1.7), если не считать изменением замену умножения на функцию DPROD!
  
−
=== Описание локальности данных и вычислений ===
+
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
−
 
 
−
==== Описание локальности алгоритма ====
 
−
 
 
−
==== Описание локальности реализации алгоритма ====
 
−
 
 
−
===== Описание структуры обращений в память и качественная оценка локальности =====
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_locality1.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 1. Реализация метода Холецкого. Общий профиль обращений в память]]
 
−
 
 
−
На рисунке 1 представлен профиль обращений в память для реализации метода Холецкого. В программе задействован только 1 массив, поэтому в данном случае обращения в профиле происходят только к элементам этого массива. Программа состоит из одного основного этапа, который, в свою очередь, состоит из последовательности подобных итераций. Пример одной итерации выделен зеленым цветом.
 
−
 
 
−
Видно, что на каждой <math>i</math>-й итерации используются все адреса, кроме первых <math>k_i</math>, при этом с ростом <math>i</math> увеличивается значение <math>k_i</math>. Также можно заметить, что число обращений в память на каждой итерации растет примерно до середины работы программы, после чего уменьшается вплоть до завершения работы. Это позволяет говорить о том, что данные в программе используются неравномерно, при этом многие итерации, особенно в начале выполнения программы, задействуют большой объем данных, что приводит к ухудшению локальности.
 
−
 
 
−
Однако в данном случае основным фактором, влияющим на локальность работы с памятью, является строение итерации. Рассмотрим фрагмент профиля, соответствующий нескольким первым итерациям.
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_locality2.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 2. Реализация метода Холецкого. Фрагмент профиля (несколько первых итераций)]]
 
−
 
 
−
Исходя из рисунка 2 видно, что каждая итерация состоит из двух различных фрагментов. Фрагмент 1 – последовательный перебор (с некоторым шагом) всех адресов, начиная с некоторого начального. При этом к каждому элементу происходит мало обращений. Такой фрагмент обладает достаточно неплохой пространственной локальностью, так как шаг по памяти между соседними обращениями невелик, но плохой временно́й локальностью, поскольку данные редко используются повторно.
 
−
 
 
−
Фрагмент 2 устроен гораздо лучше с точки зрения локальности. В рамках этого фрагмента выполняется большое число обращений подряд к одним и тем же данным, что обеспечивает гораздо более высокую степень как пространственной, так и временно́й локальности по сравнению с фрагментом 1.
 
−
 
 
−
После рассмотрения фрагмента профиля на рис. 2 можно оценить общую локальность двух фрагментов на каждой итерации. Однако стоит рассмотреть более подробно, как устроен каждый из фрагментов.
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_locality3.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 3. Реализация метода Холецкого. Фрагмент профиля (часть одной итерации)]]
 
−
 
 
−
Рис. 3, на котором представлена часть одной итерации общего профиля,  позволяет отметить достаточно интересный факт: строение каждого из фрагментов на самом деле заметно сложнее, чем это выглядит на рис. 2. В частности, каждый шаг фрагмента 1 состоит из нескольких обращений к соседним элементам, причем выполняется не последовательный перебор. Также можно увидеть, что фрагмент 2 на самом деле в свою очередь состоит из повторяющихся итераций, при этом видно, что каждый шаг фрагмента 1 соответствует одной итерации фрагмента 2 (выделено зеленым на рис. 3). Это лишний раз говорит о том, что для точного понимания локальной структуры профиля необходимо его рассмотреть на уровне отдельных обращений.
 
−
 
 
−
Стоит отметить, что выводы на основе рис. 3 просто дополняют общее представлении о строении профиля обращений; сделанные на основе рис. 2 выводы относительно общей локальности двух фрагментов остаются верны.
 
−
 
 
−
===== Количественная оценка локальности =====
 
−
 
 
−
Первая оценка выполняется на основе характеристики daps, которая оценивает число выполненных обращений (чтений и записей) в память в секунду. Данная характеристика является аналогом оценки flops применительно к работе с памятью и является в большей степени оценкой производительности взаимодействия с памятью, чем оценкой локальности. Однако она служит хорошим источником информации, в том числе для сравнения с результатами по следующей характеристике cvg.
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_locality4.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 4. Сравнение значений оценки daps]]
 
−
 
 
−
На рисунке 4 приведены значения daps для реализаций распространенных алгоритмов, отсортированные по возрастанию (чем больше daps, тем в общем случае выше производительность). Можно увидеть, что реализация метода Холецкого характеризуется достаточно высокой скоростью взаимодействия с памятью, однако ниже, чем, например, у теста Линпак или реализации метода Якоби.
 
−
 
 
−
Вторая характеристика – cvg – предназначена для получения более машинно-независимой оценки локальности. Она определяет, насколько часто в программе необходимо подтягивать данные в кэш-память. Соответственно, чем меньше значение cvg, тем реже это нужно делать, тем лучше локальность.
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_locality5.jpg|thumb|center|700px|Рисунок 5. Сравнение значений оценки cvg]]
 
−
 
 
−
На рисунке 5 приведены значения cvg для того же набора реализаций, отсортированные по убыванию (чем меньше cvg, тем в общем случае выше локальность). Можно увидеть, что, согласно данной оценке, реализация метода Холецкого оказалась ниже в списке по сравнению с оценкой daps.
 
−
 
 
−
<!--
 
−
===== Анализ на основе теста Apex-Map =====
 
−
--->
 
−
 
 
−
=== Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма ===
 
  
 
Как нетрудно видеть по структуре графа алгоритма, вариантов распараллеливания алгоритма довольно много. Например, во втором варианте (см. раздел «[[#Особенности реализации последовательного алгоритма|Особенности реализации последовательного алгоритма]]») все внутренние циклы параллельны, в первом — параллелен цикл по <math>J</math>. Тем не менее, простое распараллеливание таким способом «в лоб» вызовет такое количество пересылок между процессорами с каждым шагом по внешнему циклу, которое почти сопоставимо с количеством арифметических операций. Поэтому перед размещением операций и данных между процессорами вычислительной системы предпочтительно разбиение всего пространства вычислений на блоки, с сопутствующим разбиением обрабатываемого массива.
 
Как нетрудно видеть по структуре графа алгоритма, вариантов распараллеливания алгоритма довольно много. Например, во втором варианте (см. раздел «[[#Особенности реализации последовательного алгоритма|Особенности реализации последовательного алгоритма]]») все внутренние циклы параллельны, в первом — параллелен цикл по <math>J</math>. Тем не менее, простое распараллеливание таким способом «в лоб» вызовет такое количество пересылок между процессорами с каждым шагом по внешнему циклу, которое почти сопоставимо с количеством арифметических операций. Поэтому перед размещением операций и данных между процессорами вычислительной системы предпочтительно разбиение всего пространства вычислений на блоки, с сопутствующим разбиением обрабатываемого массива.
Строка 288: Строка 275:
 
В принципе, возможно и использование т. н. «скошенного» параллелизма. Однако его на практике никто не использует, из-за усложнения управляющей структуры программы.
 
В принципе, возможно и использование т. н. «скошенного» параллелизма. Однако его на практике никто не использует, из-за усложнения управляющей структуры программы.
  
−
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
+
Точечный метод Холецкого реализован как в основных библиотеках программ отечественных организаций, так и в западных пакетах LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и др.
−
 
+
−
==== Описание масштабируемости алгоритма ====
+
При этом в отечественных реализациях, как правило, выполнены стандартные требования к методу с точки зрения ошибок округления, то есть, реализован режим накопления, и обычно нет лишних операций. Ряд старых отечественных реализаций использует для экономии памяти упаковку матриц <math>A</math> и <math>L</math> в одномерный массив.
−
 
+
−
==== Описание масштабируемости реализации алгоритма ====
+
Реализация точечного метода Холецкого в современных западных пакетах обычно происходит из одной и той же реализации метода в LINPACK, а та использует пакет BLAS. В BLAS скалярное произведение реализовано без режима накопления, но это легко исправляется при желании.  
−
Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации разложения Холецкого согласно [[Scalability methodology|методике]]. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" [http://parallel.ru/cluster Суперкомпьютерного комплекса Московского университета].
 
  
−
Набор и границы значений изменяемых [[Глоссарий#Параметры запуска|параметров запуска]] реализации алгоритма:
+
Интересно, что в крупнейших библиотеках алгоритмов до сих пор предлагается именно разложение Холецкого, а более быстрый алгоритм LU-разложения без извлечения квадратных корней используется только в особых случаях (например, для трёхдиагональных матриц), в которых количество диагональных элементов уже сравнимо с количеством внедиагональных.
  
−
* число процессоров [4 : 256] с шагом 4;
+
=== Результаты прогонов ===
−
* размер матрицы [1024 : 5120].
 
−
 
 
−
В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон [[Глоссарий#Эффективность реализации|эффективности реализации]] алгоритма:
 
−
 
 
−
* минимальная эффективность реализации 0,11%;
 
−
* максимальная эффективность реализации 2,65%.
 
−
 
 
−
На следующих рисунках приведены графики [[Глоссарий#Производительность|производительности]] и эффективности выбранной реализации разложения Холецкого в зависимости от изменяемых параметров запуска.
 
−
 
 
−
[[file:Масштабируемость Параллельной реализации метода Холецкого Производительность.png|thumb|center|700px|Рисунок 1. Параллельная реализация метода Холецкого. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]
 
−
[[file:Холецкий масштабируемость эффективность.png|thumb|center|700px|Рисунок 2. Параллельная реализация метода Холецкого. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.]]
 
−
 
 
−
Построим оценки масштабируемости выбранной реализации разложения Холецкого:
 
−
* По числу процессов: -0,000593. При увеличении числа процессов эффективность на рассмотренной области изменений параметров запуска уменьшается, однако в целом уменьшение не очень быстрое. Малая интенсивность изменения объясняется крайне низкой общей эффективностью работы приложения с максимумом в 2,65%, и значение эффективности на рассмотренной области значений быстро доходит до десятых долей процента. Это свидетельствует о том, что на большей части области значений нет интенсивного снижения эффективности. Это объясняется также тем, что с ростом [[Глоссарий#Вычислительная сложность|вычислительной сложности]] падение эффективности становится не таким быстрым. Уменьшение эффективности на рассмотренной области работы параллельной программы объясняется быстрым ростом накладных расходов на организацию параллельного выполнения. С ростом вычислительной сложности задачи эффективность снижается так же быстро, но при больших значениях числа процессов. Это подтверждает предположение о том, что накладные расходы начинают сильно превалировать над вычислениями.
 
−
* По размеру задачи: 0,06017. При увеличении размера задачи эффективность возрастает. Эффективность возрастает тем быстрее, чем большее число процессов используется для выполнения. Это подтверждает предположение о том, что размер задачи сильно влияет на эффективность выполнения приложения. Оценка показывает, что с ростом размера задачи эффективность на рассмотренной области значений параметров запуска сильно увеличивается. Также, учитывая разницу максимальной и минимальной эффективности в 2,5%, можно сделать вывод, что рост эффективности при увеличении размера задачи наблюдается на большей части рассмотренной области значений.
 
−
* По двум направлениям: 0,000403. При рассмотрении увеличения как вычислительной сложности, так и числа процессов на всей рассмотренной области значений эффективность увеличивается, однако скорость увеличения эффективности небольшая. В совокупности с тем фактом, что разница между максимальной и минимальной эффективностью на рассмотренной области значений параметров небольшая, эффективность с увеличением масштабов возрастает, но медленно и с небольшими перепадами.
 
−
 
 
−
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
 
−
 
 
−
Для существующих параллельных реализаций характерно отнесение всего ресурса параллелизма на блочный уровень. Относительно низкая эффективность работы связана с проблемами внутри одного узла, следующим фактором является неоптимальное соотношение между «арифметикой» и обменами. Видно, что при некотором (довольно большом) оптимальном размере блока обмены влияют не так уж сильно.
 
−
 
 
−
Для проведения экспериментов использовалась реализация разложения Холецкого, представленная в пакете SCALAPACK библиотеки Intel MKL (метод pdpotrf).  Все результаты получены на суперкомпьютере «Ломоносов». Использовались процессоры Intel Xeon X5570 с пиковой производительностью в 94 Гфлопс, а также компилятор Intel с опцией –O2.
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_efficiency1.jpg|thumb|center|700px]]
 
−
 
 
−
На рисунке показана эффективность реализации разложения Холецкого (случай использования нижних треугольников матриц) для разного числа процессов и разной размерности матрицы (10000, 20000 и 50000 элементов). Видно, что общая эффективность достаточно невысока – даже при малом числе процессов менее 10 %. Однако при всех размерностях матрицы эффективность снижается очень медленно – в самом худшем случае, при N = 10000, при увеличении числа процессов с 16 до 900 (в 56 раз) эффективность падает с 7 % до 0,8 % (всего в 9 раз). При N = 50000 эффективность уменьшается еще медленнее.
 
−
 
 
−
Также стоит отметить небольшое суперлинейное ускорение, полученное на 4-х процессах для N = 10000 и N = 20000 (для N = 50000 провести эксперименты на таком малом числе процессов не удалось). Помимо более эффективной работы с кэш-памятью, оно, видимо, обусловлено тем, что эти 4 процесса помещаются на ядрах одного процессора, что позволяет использовать общую память, и, соответственно, не приводит к появлению накладных расходов, связанных с пересылкой данных.
 
  
 
=== Выводы для классов архитектур ===
 
=== Выводы для классов архитектур ===
Строка 331: Строка 289:
 
Как видно по показателям SCALAPACK на суперкомпьютерах, обмены при большом n хоть и уменьшают эффективность расчётов, но слабее, чем неоптимальность организации расчётов внутри одного узла. Поэтому, видимо, следует сначала оптимизировать не блочный алгоритм, а подпрограммы, используемые на отдельных процессорах: точечный метод Холецкого, перемножения матриц и др. подпрограммы. [[#Существующие реализации алгоритма|Ниже]] содержится информация о возможном направлении такой оптимизации.
 
Как видно по показателям SCALAPACK на суперкомпьютерах, обмены при большом n хоть и уменьшают эффективность расчётов, но слабее, чем неоптимальность организации расчётов внутри одного узла. Поэтому, видимо, следует сначала оптимизировать не блочный алгоритм, а подпрограммы, используемые на отдельных процессорах: точечный метод Холецкого, перемножения матриц и др. подпрограммы. [[#Существующие реализации алгоритма|Ниже]] содержится информация о возможном направлении такой оптимизации.
  
−
В отношении же архитектуры типа ПЛИС вполне показателен тот момент, что разработчики — наполнители библиотек для ПЛИСов пока что не докладывают об успешных и эффективных реализациях точечного метода Холецкого на ПЛИСах. Это связано со следующим свойством информационной структуры алгоритма: если операции деления или вычисления выражений <math>a - bc</math> являются не только массовыми, но и параллельными, и потому их вычисления сравнительно легко выстраивать в конвейеры, то операции извлечения квадратных корней являются узким местом алгоритма - отведённое на эту операцию оборудование неизбежно будет простаивать большую часть времени. Поэтому для эффективной реализации на ПЛИСах алгоритмов, столь же хороших по вычислительным характеристикам, как и метод квадратного корня, следует использовать не метод Холецкого, а его давно известную модификацию без извлечения квадратных корней — [[Компактная схема разложения Гаусса (вариант для симметричных матриц)|разложение матрицы в произведение <math>L D L^T</math>]].
+
Вообще эффективность метода Холецкого для параллельных архитектур не может быть высокой. Это связано со следующим свойством информационной структуры алгоритма: если операции деления или вычисления выражений <math>a - bc</math> являются не только массовыми, но и параллельными, и потому их вычисления сравнительно легко выстраивать в конвейеры или распределять по устройствам, то операции извлечения квадратных корней являются узким местом алгоритма. Поэтому для эффективной реализации алгоритмов, столь же хороших по вычислительным характеристикам, как и метод квадратного корня, следует использовать не метод Холецкого, а его давно известную модификацию без извлечения квадратных корней — [[%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%86%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_(%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F)#.5C.28LDL.5ET.5C.29_.D1.80.D0.B0.D0.B7.D0.BB.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|разложение матрицы в произведение <math>L D L^T</math>]]<ref>Krishnamoorthy A., Menon D. Matrix Inversion Using Cholesky Decomposition. 2013. eprint arXiv:1111.4144</ref>.
−
 
 
−
=== Существующие реализации алгоритма ===
 
−
 
 
−
Точечный метод Холецкого реализован как в основных библиотеках программ отечественных организаций, так и в западных пакетах LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и др.
 
−
 
−
При этом в отечественных реализациях, как правило, выполнены стандартные требования к методу с точки зрения ошибок округления, то есть, реализован режим накопления, и обычно нет лишних операций. Правда, анахронизмом в наше время выглядит то, что ряд старых отечественных реализаций использует для экономии памяти упаковку матриц <math>A</math> и <math>L</math> в одномерный массив. При реальных вычислениях на современных вычислительных системах данная упаковка только создаёт дополнительные накладные расходы. Однако отечественные реализации, не использующие такую упаковку, вполне отвечают требованиям современности в отношении вычислительной точности метода.
 
−
 
−
Реализация точечного метода Холецкого в современных западных пакетах страдает другими недостатками, вытекающими из того, что все эти реализации, по сути, происходят из одной и той же реализации метода в LINPACK, а та использует пакет BLAS. Основным их недостатком является даже не наличие лишних операций, о котором уже написано в разделе «[[#Вычислительное ядро алгоритма|Вычислительное ядро алгоритма]]», ибо их количество всё же невелико по сравнению с главной частью, а то, что в BLAS скалярное произведение реализовано без режима накопления. Это перечёркивает имеющиеся для метода Холецкого хорошие оценки влияния ошибок округления, поскольку они выведены как раз в предположении использования режима накопления при вычислении скалярных произведений. Поэтому тот, кто использует реализации метода Холецкого из LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и т. п. пакетов, серьёзно рискует не получить требуемую вычислительную точность, либо ему придётся для получения хороших оценок ''одинарной точности'' использовать подпрограммы ''двойной''.
 
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==
  
−
# В.В.Воеводин. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
+
<references />
−
# В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
 
−
# Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддева. Вычислительные основы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963.
 
  
 
[[en:Cholesky decomposition]]
 
[[en:Cholesky decomposition]]
 +
 +
[[Категория:Законченные статьи]]
 +
[[Категория:Разложения матриц]]

Текущая версия на 11:30, 3 июля 2022


Разложение Холецкого
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]
Объём выходных данных [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]O(n^2)[/math]


Основные авторы описания: А.В.Фролов

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Разложение Холецкого впервые предложено французским офицером и математиком Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем[1]. Потом оно было использовано поляком Т. Банашевичем[2][3] в 1938 г. В советской математической литературе называется также методом квадратного корня[4][5][6]; название связано с характерными операциями, отсутствующими в родственном разложении Гаусса.

Первоначально разложение Холецкого использовалось исключительно для плотных симметричных положительно определенных матриц. В настоящее время его использование гораздо шире. Оно может быть применено также, например, к эрмитовым матрицам. Для повышения производительности вычислений часто применяется блочная версия разложения.

Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией.

Варианты разложения Холецкого нашли успешные применения и в итерационных методах для построения переобусловливателей разреженных симметричных положительно определенных матриц. В неполном треугольном разложении («по позициям») элементы переобусловливателя вычисляются только в заранее заданных позициях, например, в позициях ненулевых элементов исходной матрицы (так называемое разложение IC0). Для получения же более точного разложения применяется приближение, в котором фильтрация малых элементов производится «по значениям». В зависимости от используемого порога фильтрации можно получить более точное, но и более заполненное разложение. Существует и алгоритм разложения второго порядка точности[7]. В нём при таком же заполнении множителей разложения удается улучшить точность. Для такого разложения в параллельном режиме используется специальный вариант аддитивного переобуславливания на основе разложения второго порядка[8].

На этой странице представлено исходное разложение Холецкого с новых позиций нашего суперкомпьютерного века. Приведено описание конкретной версии разложения Холецкого — для плотных вещественных симметричных положительно определённых матриц, но структура для ряда других версий, например, для комплексного случая, почти такая же, различия состоят в замене большинства вещественных операций на комплексные. Список остальных основных вариантов разложения можно посмотреть на странице Метод Холецкого (нахождение симметричного треугольного разложения).

Используется для разложения положительно определённых эрмитовых (в вещественном случае - симметрических) матриц в виде [math]A = L L^*[/math], [math]L[/math] — нижняя треугольная матрица,

[math] L = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ l_{n-1 1} & \cdots & \cdots & l_{n-1\ n-2} & l_{n-1\ n-1} & 0 \\ l_{n 1} & \cdots & \cdots & l_{n\ n-2} & l_{n\ n-1} & l_{n\ n} \\ \end{bmatrix} [/math]

или в виде [math]A = U^* U[/math], [math]U[/math] — верхняя треугольная матрица,

[math] U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1\ n-1} & u_{1\ n} \\ 0 & u_{22} & u_{23}& \cdots & u_{2\ n-1} & u_{2\ n} \\ 0 & 0 & u_{33} & \cdots & u_{3\ n-1} & u_{3\ n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & u_{n-1\ n-1} & u_{n-1\ n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & u_{n\ n} \\ \end{bmatrix} [/math]

Эти разложения совершенно эквивалентны друг другу по вычислениям и различаются только способом представления данных). Он заключается в реализации формул для элементов матрицы [math]L[/math], получающихся из вышеприведённого равенства единственным образом. Получило широкое распространение благодаря следующим особенностям.

1.1.1 Симметричность и положительная определённость матрицы

Симметричность матрицы позволяет хранить и вычислять только чуть больше половины её элементов, что почти вдвое экономит как необходимые для вычислений объёмы памяти, так и количество операций в сравнении с, например, разложением по методу Гаусса. При этом альтернативное (без вычисления квадратных корней) LU-разложение, использующее симметрию матрицы, всё же несколько быстрее метода Холецкого (не использует извлечение квадратных корней), но требует хранения всей матрицы. Благодаря тому, что разлагаемая матрица не только симметрична, но и положительно определена, её LU-разложения, в том числе и разложение методом Холецкого, имеют наименьшее эквивалентное возмущение из всех известных разложений матриц.

1.1.2 Режим накопления

Алгоритм позволяет использовать так называемый режим накопления, обусловленный тем, что значительную часть вычислений составляют вычисления скалярных произведений.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math]).

Формулы метода:

[math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление [math]\frac{1}{l_{ii}}[/math] и затем умножение на него всех (видоизменённых) [math]a_{ji}[/math] . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода Холецкого можно составить из множественных (всего их [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]) вычислений скалярных произведений строк матрицы:

[math]\sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math]

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи. Во многих последовательных реализациях упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что в них вычисление сумм типа

[math]a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math]

в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений

[math]a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math]

в режиме накопления или без него.

Тем не менее, в популярных зарубежных реализациях точечного метода Холецкого, в частности, в библиотеках LINPACK и LAPACK, основанных на BLAS, используются именно вычисления скалярных произведений в виде вызова соответствующих подпрограмм BLAS (конкретно — функции SDOT). На последовательном уровне это влечёт за собой дополнительную операцию суммирования на каждый из [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] вычисляемый элемент матрицы [math]L[/math] и некоторое замедление работы программы (о других следствиях рассказано ниже в разделе «Существующие реализации алгоритма»). Поэтому в данных вариантах ядром метода Холецкого будут вычисления этих скалярных произведений.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]) вычисления сумм

[math]a_{ji}-\sum_{p=1}^{i-1}l_{ip} l_{jp}[/math]

в режиме накопления или без него.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

1. [math]l_{11}= \sqrt{a_{11}}[/math]

2. [math]l_{j1}= \frac{a_{j1}}{l_{11}}[/math] (при [math]j[/math] от [math]2[/math] до [math]n[/math]).

Далее для всех [math]i[/math] от [math]2[/math] до [math]n[/math] по нарастанию выполняются

3. [math]l_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}[/math] и

4. (кроме [math]i = n[/math]): [math]l_{ji} = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}[/math] (для всех [math]j[/math] от [math]i + 1[/math] до [math]n[/math]).

После этого (если [math]i \lt n[/math]) происходит переход к шагу 3 с бо́льшим [math]i[/math].

Особо отметим, что вычисления сумм вида [math]a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math] в обеих формулах производят в режиме накопления вычитанием из [math]a_{ji}[/math] произведений [math]l_{ip} l_{jp}[/math] для [math]p[/math] от [math]1[/math] до [math]i - 1[/math], c нарастанием [math]p[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для разложения матрицы порядка n методом Холецкого в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

  • [math]n[/math] вычислений квадратного корня,
  • [math]\frac{n(n-1)}{2}[/math] делений,
  • [math]\frac{n^3-n}{6}[/math] сложений (вычитаний),
  • [math]\frac{n^3-n}{6}[/math] умножений.

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает долю умножений и сложений/вычитаний во времени, требуемом для выполнения метода Холецкого.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод Холецкого относится к алгоритмам с кубической сложностью.

1.7 Информационный граф

Опишем граф алгоритма[9][10][11] как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма состоит из трёх групп вершин, расположенных в целочисленных узлах трёх областей разной размерности.

Первая группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию SQRT. Единственная координата каждой из вершин [math]i[/math] меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргумент этой функции

  • при [math]i = 1[/math] — элемент входных данных, а именно [math]a_{11}[/math];
  • при [math]i \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i - 1[/math], [math]i[/math], [math]i - 1[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]l_{ii}[/math].

Вторая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция [math]a / b[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

  • [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n-1[/math], принимая все целочисленные значения;
  • [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]i+1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

  • [math]a[/math]:
    • при [math]i = 1[/math] — элементы входных данных, а именно [math]a_{j1}[/math];
    • при [math]i \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i - 1, j, i - 1[/math];
  • [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой [math]i[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]l_{ji}[/math].

Третья группа вершин расположена в трёхмерной области, соответствующая ей операция [math]a - b * c[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

  • [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]2[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
  • [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]i[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
  • [math]p[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]i - 1[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

  • [math]a[/math]:
    • при [math]p = 1[/math] элемент входных данных [math]a_{ji}[/math];
    • при [math]p \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i, j, p - 1[/math];
  • [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]p, i[/math];
  • [math]c[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]p, j[/math];

Результат срабатывания операции является промежуточным данным алгоритма.

Описанный граф можно посмотреть на рис.1 и рис.2, выполненных для случая [math]n = 4[/math]. Здесь вершины первой группы обозначены жёлтым цветом и буквосочетанием sq, вершины второй — зелёным цветом и знаком деления, третьей — красным цветом и буквой f. Вершины, соответствующие операциям, производящим выходные данные алгоритма, выполнены более крупно. Дублирующие друг друга дуги даны как одна. На рис.1 показан граф алгоритма согласно классическому определению , на рис.2 к графу алгоритма добавлены вершины , соответствующие входным (обозначены синим цветом) и выходным (обозначены розовым цветом) данным.

Рисунок 1. Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление.
Рисунок 2. Граф алгоритма с отображением входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление, In - входные данные, Out - результаты.


Интерактивное изображение графа алгоритма без входных и выходных данных для n = 4.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для разложения матрицы порядка [math]n[/math] методом Холецкого в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

  • [math]n[/math] ярусов с вычислением квадратного корня (единичные вычисления в каждом из ярусов),
  • [math]n - 1[/math] ярус делений (в каждом из ярусов линейное количество делений, в зависимости от яруса — от [math]1[/math] до [math]n - 1[/math]),
  • по [math]n - 1[/math] ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — квадратичное количество операций, от [math]1[/math] до [math]\frac{n^2 - n}{2}[/math].

Таким образом, в параллельном варианте, в отличие от последовательного, вычисления квадратных корней и делений будут определять довольно значительную долю требуемого времени. При реализации на конкретных архитектурах наличие в отдельных ярусах ЯПФ отдельных вычислений квадратных корней может породить и другие проблемы. Например, при реализации на ПЛИСах остальные вычисления (деления и тем более умножения и сложения/вычитания) могут быть конвейеризованы, что даёт экономию и по ресурсам на программируемых платах; вычисления же квадратных корней из-за их изолированности приведут к занятию ресурсов на платах, которые будут простаивать большую часть времени. Таким образом, общая экономия в 2 раза, из-за которой метод Холецкого предпочитают в случае симметричных задач тому же методу Гаусса, в параллельном случае уже имеет место вовсе не по всем ресурсам, и главное - не по требуемому времени.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения метода Холецкого в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает увеличение требуемой памяти почти в 2 раза.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод Холецкого относится к алгоритмам со сложностью [math]O(n)[/math]. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет [math]O(n^2)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: плотная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]). Дополнительные ограничения:

  • [math]A[/math] – симметрическая матрица, т. е. [math]a_{ij}= a_{ji}, i, j = 1, \ldots, n[/math].
  • [math]A[/math] – положительно определённая матрица, т. е. для любых ненулевых векторов [math]\vec{x}[/math] выполняется [math]\vec{x}^T A \vec{x} \gt 0[/math].

Объём входных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в библиотеке, реализованной в НИВЦ МГУ, матрица A хранилась в одномерном массиве длины [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] по строкам своего нижнего треугольника.

Выходные данные: нижняя треугольная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math]).

Объём выходных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] (в силу треугольности достаточно хранить только ненулевые элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в той же библиотеке, созданной в НИВЦ МГУ, матрица [math]L[/math] хранилась в одномерном массиве длины [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] по строкам своей нижней части.

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является квадратичным (отношение кубической к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь линейна.

При этом алгоритм почти полностью детерминирован, это гарантируется теоремой о единственности разложения. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций может привести к накоплению ошибок округления, однако это влияние в используемых вариантах алгоритма не так велико, как, скажем, отказ от использования режима накопления.

Дуги информационного графа, исходящие из вершин, соответствующих операциям квадратного корня и деления, образуют пучки т. н. рассылок линейной мощности (то есть степень исхода этих вершин и мощность работы с этими данными — линейная функция от порядка матрицы и координат этих вершин). При этом естественно наличие в этих пучках «длинных» дуг. Остальные дуги локальны.

Наиболее известной является компактная укладка графа — его проекция на треугольник матрицы, который перевычисляется укладываемыми операциями. При этом «длинные» дуги можно убрать, заменив более дальнюю пересылку комбинацией нескольких ближних (к соседям).

Эквивалентное возмущение [math]M[/math] у метода Холецкого всего вдвое больше, чем возмущение [math]\delta A[/math], вносимое в матрицу при вводе чисел в компьютер: [math] ||M||_{E} \leq 2||\delta A||_{E} [/math]

Это явление обусловлено положительной определённостью матрицы. Среди всех используемых разложений матриц это наименьшее из эквивалентных возмущений.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

В простейшем (без перестановок суммирования) варианте метод Холецкого на Фортране можно записать так: 

	DO  I = 1, N
		S = A(I,I)
		DO  IP=1, I-1
			S = S - DPROD(A(I,IP), A(I,IP))
		END DO
		A(I,I) = SQRT (S)
		DO  J = I+1, N
			S = A(J,I)
			DO  IP=1, I-1
				S = S - DPROD(A(I,IP), A(J,IP))
			END DO
			A(J,I) = S/A(I,I)
		END DO
	END DO

При этом для реализации режима накопления переменная [math]S[/math] должна быть двойной точности.

Отдельно следует обратить внимание на используемую в такой реализации функцию DPROD. Её появление как раз связано с тем, как математики могли использовать режим накопления вычислений. Дело в том, что, как правило, при выполнении умножения двух чисел с плавающей запятой сначала результат получается с удвоенными длинами мантиссы и порядка, и только при выполнении присваивания переменной одинарной точности результат округляется. Эта возможность даёт выполнять умножение действительных чисел с двойной точностью без предварительного приведения их к типу двойной точности. На ранних этапах развития вычислительных библиотек снятие результата без округление реализовали вставками специального кода в фортран-программы, но уже в 70-х гг. XX века в ряде трансляторов Фортрана появилась функция DPROD, реализующая это без обращения программиста к машинным кодам. Она была закреплена среди стандартных функций в стандарте Фортран 77, и реализована во всех современных трансляторах Фортрана.

Для метода Холецкого существует блочная версия, которая отличается от точечной не тем, что операции над числами заменены на аналоги этих операций над блоками; её построение основано на том, что практически все циклы точечной версии имеют тип SchedDo в терминах методологии, основанной на исследовании информационного графа и, следовательно, могут быть развёрнуты. Тем не менее, обычно блочную версию метода Холецкого записывают не в виде программы с развёрнутыми и переставленными циклами, а в виде программы, подобной реализации точечного метода, в которой вместо соответствующих скалярных операций присутствуют операции над блоками.

Особенностью размещения массивов в Фортране является хранение их "по столбцам" (быстрее всего меняется первый индекс). Поэтому для обеспечения локальности работы с памятью представляется более эффективной такая схема метода Холецкого (полностью эквивалентная описанной), когда исходная матрица и её разложение хранятся не в нижнем, а в верхнем треугольнике. Тогда при вычислениях скалярных произведений программа будет "идти" по последовательным ячейкам памяти компьютера.

Есть и другой вариант точечной схемы: использовать вычисляемые элементы матрицы [math]L[/math] в качестве аргументов непосредственно «сразу после» их вычисления. Такая программа будет выглядеть так: 

	DO  I = 1, N
		A(I,I) = SQRT (A(I, I))
		DO  J = I+1, N
			A(J,I) = A(J,I)/A(I,I)
		END DO
		DO  K=I+1,N
			DO J = K, N
				A(J,K) = A(J,K) - A(J,I)*A(K,I)
			END DO	
		END DO
	END DO

Как видно, в этом варианте для реализации режима накопления одинарной точности мы должны будем объявить двойную точность для массива, хранящего исходные данные и результат. Подчеркнём, что граф алгоритма обеих схем - один и тот же (из п.1.7), если не считать изменением замену умножения на функцию DPROD!

2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Как нетрудно видеть по структуре графа алгоритма, вариантов распараллеливания алгоритма довольно много. Например, во втором варианте (см. раздел «Особенности реализации последовательного алгоритма») все внутренние циклы параллельны, в первом — параллелен цикл по [math]J[/math]. Тем не менее, простое распараллеливание таким способом «в лоб» вызовет такое количество пересылок между процессорами с каждым шагом по внешнему циклу, которое почти сопоставимо с количеством арифметических операций. Поэтому перед размещением операций и данных между процессорами вычислительной системы предпочтительно разбиение всего пространства вычислений на блоки, с сопутствующим разбиением обрабатываемого массива.

Многое зависит от конкретного типа вычислительной системы. Присутствие конвейеров на узлах многопроцессорной системы делает рентабельным параллельное вычисление нескольких скалярных произведений сразу. Подобная возможность есть и на программировании ПЛИСов, но там быстродействие будет ограничено медленным последовательным выполнением операции извлечения квадратного корня.

В принципе, возможно и использование т. н. «скошенного» параллелизма. Однако его на практике никто не использует, из-за усложнения управляющей структуры программы.

Точечный метод Холецкого реализован как в основных библиотеках программ отечественных организаций, так и в западных пакетах LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и др.

При этом в отечественных реализациях, как правило, выполнены стандартные требования к методу с точки зрения ошибок округления, то есть, реализован режим накопления, и обычно нет лишних операций. Ряд старых отечественных реализаций использует для экономии памяти упаковку матриц [math]A[/math] и [math]L[/math] в одномерный массив.

Реализация точечного метода Холецкого в современных западных пакетах обычно происходит из одной и той же реализации метода в LINPACK, а та использует пакет BLAS. В BLAS скалярное произведение реализовано без режима накопления, но это легко исправляется при желании.

Интересно, что в крупнейших библиотеках алгоритмов до сих пор предлагается именно разложение Холецкого, а более быстрый алгоритм LU-разложения без извлечения квадратных корней используется только в особых случаях (например, для трёхдиагональных матриц), в которых количество диагональных элементов уже сравнимо с количеством внедиагональных.

2.3 Результаты прогонов

2.4 Выводы для классов архитектур

Как видно по показателям SCALAPACK на суперкомпьютерах, обмены при большом n хоть и уменьшают эффективность расчётов, но слабее, чем неоптимальность организации расчётов внутри одного узла. Поэтому, видимо, следует сначала оптимизировать не блочный алгоритм, а подпрограммы, используемые на отдельных процессорах: точечный метод Холецкого, перемножения матриц и др. подпрограммы. Ниже содержится информация о возможном направлении такой оптимизации.

Вообще эффективность метода Холецкого для параллельных архитектур не может быть высокой. Это связано со следующим свойством информационной структуры алгоритма: если операции деления или вычисления выражений [math]a - bc[/math] являются не только массовыми, но и параллельными, и потому их вычисления сравнительно легко выстраивать в конвейеры или распределять по устройствам, то операции извлечения квадратных корней являются узким местом алгоритма. Поэтому для эффективной реализации алгоритмов, столь же хороших по вычислительным характеристикам, как и метод квадратного корня, следует использовать не метод Холецкого, а его давно известную модификацию без извлечения квадратных корней — разложение матрицы в произведение [math]L D L^T[/math][12].

3 Литература

  1. ↑ Commandant Benoit, Note sur une méthode de résolution des équations normales provenant de l'application de la méthode des moindres carrés à un système d'équations linéaires en nombre inférieur à celui des inconnues (Procédé du Commandant Cholesky), Bulletin Géodésique 2 (1924), 67-77.
  2. ↑ Banachiewicz T. Principles d'une nouvelle technique de la méthode des moindres carrês. Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. A., 1938, 134-135.
  3. ↑ Banachiewicz T. Méthode de résoltution numérique des équations linéaires, du calcul des déterminants et des inverses et de réduction des formes quardatiques. Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. A., 1938, 393-401.
  4. ↑ Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
  5. ↑ Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
  6. ↑ Фаддеев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные основы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963.
  7. ↑ Kaporin I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive definite matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition. Numer. Lin. Algebra Appl. (1998) Vol. 5, No. 6, 483-509.
  8. ↑ Капорин И.Е., Коньшин И.Н. Параллельное решение симметричных положительно-определенных систем на основе перекрывающегося разбиения на блоки. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, Т, 41, N. 4, C. 515–528.
  9. ↑ Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений// М.: Изд. Моск. ун-та, 1991. 345 с.
  10. ↑ Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ - Петербург, 2002. – 608 с.
  11. ↑ Фролов А.В.. Принципы построения и описание языка Сигма. Препринт ОВМ АН N 236. М.: ОВМ АН СССР, 1989.
  12. ↑ Krishnamoorthy A., Menon D. Matrix Inversion Using Cholesky Decomposition. 2013. eprint arXiv:1111.4144
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Разложение_Холецкого_(метод_квадратного_корня)&oldid=28906