Участник:Elena777mc/Плотностный алгоритм кластеризации DBSCAN

Эта работа успешно выполнена Преподавателю: в основное пространство, в подстраницу Данное задание было проверено и зачтено. Проверено Dexter и Sleo.

Плотностный алгоритм кластеризации DBSCAN
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n \log n)[/math]
Объём входных данных	[math]n[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(|X| \log |X|)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(m)[/math]

Основные авторы описания: Малахова Е.С. (1.2, 1.4-1.8, 2.4, 2.7), Сагиолданова Ж. (1.1-1.3, 1.9-1.10, 3)

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация – это процесс разбиения множества с [math]N[/math] элементами [math]x_1, x_2, ... , x_n (x_n[/math] имеет размерность [math]m[/math]) на [math]K[/math] кластеров, так, чтобы в каждом кластере все элементы были схожи в каком-то смысле. [math]x_i[/math] могут быть числовыми, категориальными или смешанными данными. В плотностных методах кластеры рассматриваются как регионы пространства данных с высокой плотностью объектов, которые разделены регионами с низкой плотностью объектов.

Алгоритм DBSCAN (Density Based Spatial Clustering of Applications with Noise) –плотностной алгоритм для кластеризации пространственных данных с присутствием шума, был предложен Мартином Эстер, Гансом-Питером Кригель и их коллегами в 1996 году как решение проблемы разбиения (изначально пространственных) данных на кластеры произвольной формы.

Большинство алгоритмов, производящих плоское разбиение (то есть разбиение объектов на плоскости на непересекающиеся множества/кластеры), создают кластеры по форме близкие к сферическим, так как минимизируют расстояние точки до центра кластера.

Авторы DBSCAN экспериментально показали, что их алгоритм способен распознать кластеры различной формы. Идея, положенная в основу алгоритма, заключается в том, что внутри каждого кластера плотность точек (объектов) заметно выше, чем плотность снаружи кластера, а также плотность в областях с шумом ниже плотности любого из кластеров. Еще точнее, для каждой точки кластера ее окрестность в диапазоне заданного радиуса должна содержать не менее некоторого числа точек, которое задается пороговым значением.

1.2 Математическое описание алгоритма

Рис. 1. Пример ядровых, граничных и шумовых точек алгоритма. Точка A - ядровая, точки  B и С - граничные, N - шум. В данном примере MinPts = 4, Eps равен радиусу окружности

Исходные данные: объекты, которые нужно кластеризовать, параметры [math]MinPts, \ \varepsilon[/math] . Между объектами можно считать расстояния.

Вычисляемые данные: разбиение объектов по кластерам. Количество кластеров зависит от исходных данных.

Для построения оценки плотности, на основе соседства точек вводятся понятия достижимости и связности. Под [math]\varepsilon [/math] -соседями точки [math]x \in X[/math] понимается множество точек, расстояние до которых не превышает [math]\varepsilon [/math], т. е.

[math]N_\varepsilon (x) = \{y \in X | D(x, y) \le \varepsilon\}[/math].

Тогда точка [math]y[/math] достижима из точки [math]x[/math], если существует последовательность точек [math]x^{(1)}=x, x^{(2)},... , x^{(p-1)}, x^{(p)}=y[/math], для которой выполнено:

[math] \begin{align} x^{(i+1)} \in N_\varepsilon (x^{(i)}), i=1,... ,p-1 \\ \mid N_\varepsilon (x^{(i)}) \mid \ge MinPts, i=1,... ,p-1 \end{align} [/math]

Здесь значение [math]MinPts[/math] задаётся пользователем и регулирует порог «шума». Согласно второму условию, у точек, находящихся внутри кластера, должно быть не менее [math]MinPts \ \varepsilon[/math] -соседей. Такие точки называются «ядрами». Остальные точки разделяются на граничные (имеющие менее [math]MinPts \ \varepsilon [/math] -cоседей, но достижимые из какого-либо «ядра») и шумовые. Две точки связны, если существует «ядро», из которого они обе достижимы. При такой постановке задачи, под кластером понимается максимальное связное подмножество множества [math]X[/math] . Точки, не попавшие в какой-либо кластер (не принадлежащие [math]\varepsilon[/math] -окрестности какого-либо «ядра»), относятся к классу «шум».

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является нахождение [math]\varepsilon[/math]-соседей каждого объекта входного множества [math]X[/math]. На эту часть алгоритма приходится основное время работы алгоритма, так как требуется найти всех соседей для каждого объекта заданного множества. Основные операции, которые применяются в вычислительном ядре алгоритма: нахождение расстояние между объектами и сравнение расстояния с порогом для определения того, являются ли данные объекты [math]\varepsilon[/math]-соседями.

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм DBSCAN использует пространственную структуру данных для определения соседних объектов. Такие структуры данных позволяют найти все объекты в пределах определенного расстояния от текущего объекта. Сложность построения таких структур [math]O(n \log n)[/math], и использование такой структуры не увеличит сложность всего алгоритма (если сложность самого алгоритма [math]O(n \log n)[/math]). Также для построения таких деревьев нужно уметь находить расстояния между объектами [math]\rho(u,v)[/math], это расстояние можно вводить разными способами. Например, если [math]\rho(u,v)[/math] - метрика в евклидовом пространстве, [math]u=(u_1,...,u_n)[/math] и [math](v_1,...,v_n)[/math], то расстояние вычисляется следующим образом: [math]\rho(u,v)=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+...+(u_n-v_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n(u_k-v_k)^2}[/math]

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательная реализация алгоритма может быть представлена следующим псевдокодом:

// Основная функция, которая реализует алгоритм кластеризации
[math]DBSCAN(X, \varepsilon, MinPts)[/math]
//Изначально все объекты в [math]X[/math]не кластеризованы
   [math]FORALL[/math]  objects  [math]x[/math] in [math]X\  DO[/math]
      [math]IF\  x[/math] is unclassified
        call function [math]expand\_cluster[/math] to construct a cluster wrt. [math]\varepsilon[/math] and [math]MinPts[/math] containing [math]x[/math]

// Функция, которая строит кластер на основе одной точки
[math]FUNCTION\ expand\_cluster(x,X,\varepsilon, MinPts):[/math]
   [math]retrive\_\varepsilon neighborhood(x, \varepsilon)[/math];
   [math]IF \mid N_{\varepsilon}(x) \mid \lt  MinPts[/math] //т.е. [math]x[/math] - объект, не являющийся ядром
      mark [math]x[/math] as [math]noise[/math]  and [math]RETURN[/math];
   [math]ELSE[/math]//т.е. [math]x[/math] - объект, являющийся ядром
      select a new cluster-id and mark all objects in [math]N_{\varepsilon}(x)[/math] with this current [math]cluster-id[/math]; 
      push all objects from [math]N_{\varepsilon}(x)[/math]\[math](x)[/math] onto the stack seeds;
      [math]WHILE\ NOT[/math] seeds.empty() [math]DO[/math] 
        [math]currentObject[/math] := seeds.top();
        seeds.pop();
        [math]retrive\_\varepsilon neighborhood(currentObject, \varepsilon)[/math];
        [math]IF \mid N_{\varepsilon}(currentObjects) \mid \ge MinPts[/math]
          select all objects in [math]N_{\varepsilon}(currentObject)[/math] not yet classified or marked as [math]noise[/math],
          push the unclassified objects onto seeds and mark all of these objects with current [math]cluster-id[/math];
    [math]RETURN[/math]

// Функция, для определения [math]\varepsilon[/math]-соседей для объекта
[math]FUNCTION\ retrive\_\varepsilon neighborhood(x, \varepsilon)[/math] //функция возвращает соседей на основе пространственной структуры данных
  return [math]\{ x' \ | \ \forall x' \in X: \rho(x, x') \lt  \varepsilon \}[/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для того, чтобы алгоритм мог кластеризовать все объекты, необходимо пройти по каждому из них хотя бы один раз. Если использовать R*-дерево или kd-дерево для определения соседних объектов со сложностью [math]O(\log n)[/math], то сложность алгоритма [math]O(n \log n)[/math]. Если не использовать эти структуры, то в худшем случае алгоритм будет иметь сложность [math]O(n^2)[/math], так как придется считать полную матрицу расстояний между объектами.

1.7 Информационный граф

В настоящем алгоритме осуществляется параллелизм по данным. Ниже представлена общая структура данного алгоритма.

Рис.1. Общая информационная структура алгоритма

Разбиение данных происходит с помощью пространственной структуры данных (R*-дерево, kd-дерево), которая разбивает все множество объектов [math]X[/math] на [math]m[/math] частей: [math]X_1,X_2,...,X_m[/math]. На каждой части объектов применяется алгоритм PDBSCAN. PDBSCAN - это последовательный алгоритм DBSCAN, применяемый только к одной части объектов, и для каждой из этих частей он определяет кандидатов на слияние. PDBSCAN использует пространственную структуру, которая распределяется вместе с данными. Если для ядрового объекта части [math]X_i[/math] в [math]\varepsilon[/math]-окрестности находится объект из другой части [math]X_j[/math], то такие объекты становятся кандидатами на слияние.

Само слияние осуществляется следующим образом: для каждой пары кандидатов на слияние, объединяем кластеры, соответствующие этим кандидатам в один общий кластер.

Рис.2. Пример разбиения объектов на части на основе пространственной структуры. Каждый прямоугольник соответствует части данных, каждая из которых подается на вход алгоритму PDBSCAN

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Как видно из общей структуры графа алгоритма, ширина ярусно-параллельной формы алгоритма [math]O(m)[/math], где m - количество частей, на которые разбиваются все входное множество объектов [math]X[/math]. Высотой ярусно-параллельной формы алгоритма является [math]O(|X| \log |X|)[/math], где [math]\mid X \mid[/math] - максимальное количество среди числа объектов в каждой части разбиения. Именно такую сложность имеет алгоритм PDBSCAN, применяемый к каждой отдельной части разбиения.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: множество точек X из n-мерного пространства, на котором определена функция расстояния D. В наиболее распространенном случае пространственной кластеризации используется Евлидова метрика между векторами из [math]{R}^n[/math].

Объём входных данных: n (размерность входящего множества)

Выходные данные: размеченное множество точек X, в котором каждой точке соответствует номер ее кластера. Обычно каждой точке из X сопоставляется ее номер, а на выходе алгоритм дает отображение номеров точек в номера соответствующих им кластеров, например в виде вектора размера |X|

Объём выходных данных: n (размерность выходящего множества)

1.10 Свойства алгоритма

Вычислительная мощность, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных логарифмическая.

Преимущества алгоритма

• алгоритм может обрабатывать большой объем данных и не зависит от порядка ввода данных;
• может определять кластера произвольной формы;
• параллельная реализация сбалансирована по количеству и виду производимых операций (вычисление расстояния, сравнение с [math]\varepsilon[/math]);
• не требуется задание числа кластеров;
• может выделять кластеры в присутствии «шума»и выбросов ;
• число итераций определяется заранее.

Недостатки алгоритма

• не может выделять кластеры сложной структуры, например, имеющие разную плотность, так как параметры алгоритма не могут быть выбраны отдельно для каждого кластера;
• не может построить иерархическую структуру кластеров;
• не детерминирован, так как граничные точки, достижимые из более, чем одного кластера, могут быть частью любого из них в зависимости от порядка обрабатываемых данных. Однако такая ситуация возникает редко, а относительно ядровых точек и шума DBSCAN детерминирован.
• плохо работает на кластерах, которые имеют небольшое пересечение между собой.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Было проведено исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма DBSCAN . Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета. Исследовалась параллельная реализация алгоритма, написанная с использованием стандарта MPI. Распараллеливание проводилось по числу входных объектов, поэтому исследование масштабируемости проводилось для числа входных объектов. Алгоритм тестировался на известном датасете для кластеризации: Machine Learning Repository

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров [1 : 128] с шагом по степеням двойки;
• число входных объектов [1000 : 40000].

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности распараллеливания алгоритма DBSCAN в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рис.1. Изменение производительности в зависимости от числа процессов и числа входных данных

Рис.2. Изменение эффективности распараллеливания в зависимости от числа процессов и числа входных данных

Построим оценки масштабируемости протестированной параллельной реализации алгоритма DBSCAN:

По числу процессов - при увеличении числа процессов наблюдается уменьшение эффективности на всей области рассматриваемых значений параметров. При этом с ростом числа процессов снижение эффективности замедляется.

По размеру задачи - При увеличении размерности системы при фиксированном количестве процессов на области изменений значений параметров наблюдается увеличение эффективности.

При одновременном увеличении количества процессов и размерности системы наблюдается уменьшение эффективности. При этом скорость убывания эффективности крайне низкая.

Исследованная параллельная реализация на языке C++

2.7 Существующие реализации алгоритма

• Scikit learn (Python, последовательная реализация)
• Northwestern University (C++, параллельная реализация kd-tree)
• github/ContinuumIO (Python, параллельная реализация)
• github/propanoid (C++, последовательная реализация VP tree)
• github/dparks1134 (С++, последовательная реализация)
• Disjoint-Set Data Structure based Parallel DBSCAN (C++ параллельная реализация kd-tree)
• github/bwoneill (Spark/Python параллельная реализация kd-tree)
• github/alitouka (Spark/Scala параллельная реализация)
• CRAN (R, последовательная реализация)

3 Литература

<references \> <references \>(A Fast Parallel Clustering Algorithm for Large Spatial Databases, JOCHEN JAGER, HANS-PETER KRIEGEL)

<references \>(АЛГОРИТМЫ КЛАСТЕРИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ СЕГМЕНТАЦИИ СПУТНИКОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, Пестунов Игорь Алексеевич, Синявский Юрий Николаевич)