Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем в 1986 году как обобщение метода MINRES на случай систем с несимметричными матрицами.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• система линейных алгебраических уравнений вида [math] Ax = b [/math], где [math] A [/math] — невырожденная матрица размера [math]n[/math]-на-[math] n [/math];
• [math] x_0 [/math] - некоторое начальное приближение.

Вычисляемые данные:

• [math] x_k [/math] - приближённое решение исходной системы.

Подпространство Крылова размерности [math] k, k \leq n [/math] для решения исходной системы:

[math] K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \}. \, [/math]

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы [math] Ax = b [/math] вектором [math] x_k \in K_k [/math], минимизирующим Евклидову норму невязки [math]r_k = Ax_k-b[/math].

Для решения исходной системы GMRES, используя [math] l_2 [/math]-ортонормальный базис пространства [math] K_k [/math], выполняет поиск приближённого решения [math] x_k [/math] в виде:

[math] x_k = x_0 + z_k [/math],

где [math] x_0 [/math] - некоторое начальное приближение, [math] z_k \in K_k [/math] - поправка решения.

Для построения ортонормального базиса [math] K_k [/math] метод использует ортогонализацию Арнольди. При введении для базиса [math] K_k [/math] матричного обозначения [math] V_k [/math] можно записать:

[math] z_k = V_ky_k [/math],

где [math] y_k \in \mathbb{R}^k [/math] - вектор коэффициентов.

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

1. найти ортонормальный базис [math] V_k [/math] подпространства [math] K_k [/math] с помощью ортогонализации Арнольди;
2. найти [math] y_k [/math], минимизирующий [math] \|r_k\|_2 [/math];
3. вычислить [math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math];
4. вычислить [math] r_k [/math] и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить для k + 1.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

• Вычисление ортонормального базиса [math] K_k [/math];
• Формирование приближенного решения [math] x_k [/math].

На каждой итерации для вычисления ортонормального базиса [math] K_k [/math] метод использует процесс Арнольди:

[math] \hat{v}_{k+1} := Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{k} [/math], где [math] h_{ik} := (Av_k, v_i) [/math].

Этот процесс требует [math] k(k + 1) n + kNZ [/math] мультипликативных операций, где NZ - количество ненулевых элементов матрицы [math] A [/math].

Для нахождения на каждой итерации приближённого решения метод использует формулу:

[math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math].

Вычисление этой формулы требует [math]nk[/math] мультипликативных операций.

1.4 Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

• Умножение матрицы на вектор;
• Вычисление скалярного произведения векторов;
• Вычисление Евклидовой нормы вектора;
• Умножение вектора на скаляр;
• Деление вектора на скаляр;
• Вычисление [math] y_k = \underset{y_k}{\operatorname{argmin}} \, \|r_0 - AV_ky_k\|_2 [/math].

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Для решения исходной системы методом GMRES можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Подготовка перед итерационным процессом:

1. Выбрать начальное приближение [math] x_0 [/math];
2. Посчитать невязку [math] r_0 = b - Ax_0 [/math];
3. Вычислить [math] v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} [/math].

k-ая итерация:

1. [math] h_{ik} := (Av_k, v_i), \quad i=1,\ldots,k [/math];
2. [math] \hat{v}_{k+1} := Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{i} [/math];
3. [math] h_{k+1k} = \|\hat{v}_{k+1}\|_2 [/math];
4. [math] v_{k+1} = \frac{\hat{v}_{k+1}}{h_{k+1k}} [/math].
5. [math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math], где [math]y_k[/math] минимизирует [math]\|r_0 - AV_ky_k\|_2[/math]