Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара: различия между версиями
Katemeron (обсуждение | вклад) |
Katemeron (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр. | ||
== Свойства и структура алгоритма == | == Свойства и структура алгоритма == | ||
| − | + | ===1.1 Общее описание алгоритма=== | |
Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение: | Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>N\times N</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение: | ||
| Строка 8: | Строка 9: | ||
где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов. | где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов. | ||
| − | + | ===1.2 Математическое описание алгоритма === | |
Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом: | Пусть <math>H_N</math> <math>-</math> матрица Адамара порядка <math>N</math> и <math>-H_N</math> <math>-</math> матрица с противоположными элементами. Тогда матрица <math>H_{2N}</math> получается следующим образом: | ||
| Строка 17: | Строка 18: | ||
</math> | </math> | ||
| − | + | === 1.3 Вычислительное ядро алгоритма === | |
Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и . | Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из <math>\;N^2\;</math> присвоений значений и . | ||
| − | + | === 1.4 Макроструктура алгоритма === | |
Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы. | Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы. | ||
| − | + | ===1.5 Схема реализации последовательного алгоритма=== | |
В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы. | В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы. | ||
| Строка 42: | Строка 43: | ||
| − | + | ===1.6 Последовательная сложность алгоритма=== | |
Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''. | Для заполнения матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math> присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''. | ||
| − | + | ===1.7 Информационный граф=== | |
Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1. | Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1. | ||
| Строка 52: | Строка 53: | ||
[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]] | [[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]] | ||
| − | + | ===1.8 Ресурс параллелизма алгоритма=== | |
Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо. | Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо. | ||
Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки. | Внутри каждой части происходит <math>2^{2N}-2^{2(N-1)}</math> независимых присвоений, где <math>N</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>N</math> равна <math>2^N</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки. | ||
| − | + | ===1.9 Входные и выходные данные алгоритма=== | |
Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы. | Входные данные: <math>N</math> - размерность матрицы. | ||
| Строка 65: | Строка 66: | ||
Объем выходных данных: <math> N^2</math>. | Объем выходных данных: <math> N^2</math>. | ||
| − | + | ===1.10 Свойства алгоритма=== | |
Алгоритм полностью детерминирован. | Алгоритм полностью детерминирован. | ||
| Строка 71: | Строка 72: | ||
== Программная реализация алгоритма == | == Программная реализация алгоритма == | ||
| − | + | ===2.7 Существующие реализации алгоритма=== | |
Реализация ''MATLAB'' | Реализация ''MATLAB'' | ||
Версия 15:59, 28 октября 2016
Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 1.7 Информационный граф
- 1.8 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 1.1 Общее описание алгоритма
Матрица Адамара H - это квадратная матрица размера N\times N, составленная из чисел 1 и -1, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:
H*H^T = N*E_N,
где E_n - это единичная матрица размера n. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.
1.2 1.2 Математическое описание алгоритма
Пусть H_N - матрица Адамара порядка N и -H_N - матрица с противоположными элементами. Тогда матрица H_{2N} получается следующим образом: H_{2N} = \begin{bmatrix} H_N & H_N \\ H_N & -H_N \end{bmatrix}
1.3 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из \;N^2\; присвоений значений и .
1.4 1.4 Макроструктура алгоритма
Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.
1.5 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.
Сначала заполняется правый верхний блок матрицы H
H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}, где i = 1..\frac{N}{2}, j = \frac{N}{2}+1..N;
затем левый нижний блок
H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}, где i = \frac{N}{2}+1..N, j = 1.. \frac{N}{2}.
Последним заполняется нижний правый блок матрицы
H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}, где i = \frac{N}{2}+1..N , j = \frac{N}{2}+1..N.
1.6 1.6 Последовательная сложность алгоритма
Для заполнения матрицы H размера N\times N необходимо \;N^2\; присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с квадратичной сложностью.
1.7 1.7 Информационный граф
Зависимость данных для матрицы размерностью 4*4 можно увидеть на рис.1.
1.8 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо. Внутри каждой части происходит 2^{2N}-2^{2(N-1)} независимых присвоений, где N - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге N равна 2^N. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.
1.9 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные: N - размерность матрицы.
Выходные данные: матрица размером N\times N.
Объем выходных данных: N^2.
1.10 1.10 Свойства алгоритма
Алгоритм полностью детерминирован.
2 Программная реализация алгоритма
2.1 2.7 Существующие реализации алгоритма
Реализация MATLAB [1]
Реализация PYTHON [2]
Реализация WOLFRAM [3]
На языке Java реализован класс Hadamard не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[4].
3 Литература
1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)
2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"
3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)
