Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

Построение матрицы Адамара
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(N^2)[/math]
Объём входных данных	[math]1[/math]
Объём выходных данных	[math]N^2[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(m)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]4[/math]

Основной автор статьи: Маркова Е.А. 615 гр.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Матрица Адамара [math]H[/math] - это квадратная матрица размера [math]N\times N[/math], составленная из чисел [math]1[/math] и [math]-1[/math], столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

[math]H*H^T = N*E_N[/math],

где [math]E_N[/math] - это единичная матрица размера [math]N[/math]. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Предложенный алгоритм является рекурсивным и описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2. На каждом следующем шаге алгоритма, новая матрица составляется из матрицы, полученной на предыдущем этапе, путем заполнения соответствующих блоков.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть [math]H_m[/math] [math]-[/math] матрица Адамара порядка [math]2^m[/math] и [math]-H_m[/math] [math]-[/math] матрица с противоположными элементами. Тогда матрица [math]H_{2m}[/math] получается следующим образом: [math]H_{2m} = \begin{bmatrix} H_m & H_m \\ H_m & -H_m \end{bmatrix} [/math]

Данным алгоритм описывает получение матриц Адамара только порядка степени 2, то есть [math]m[/math] и [math]N[/math] связаны соотношением [math]N = 2^m[/math].

Получение матрицы порядка [math]N[/math] состоит из следующих [math]m[/math] шагов:

Шаг 1: [math]H_1 = (1);[/math]

Шаг 2: [math]H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\1 & -1 \end{pmatrix}; [/math]

Шаг 3: [math]H_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 & -1 \\1 & 1 &- 1 & -1 \\1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. [/math]

...

Шаг [math]m[/math]: искомая матрица [math]H_m[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из [math]\;N^2\;[/math] присвоений значений матрицы Адамара

[math]H_{1,1} = 1[/math];

[math]H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}[/math], где [math]i = 1..\frac{N}{2}[/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math];

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N[/math], [math]j = 1.. \frac{N}{2}[/math];

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N [/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы [math]H[/math]

[math]H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}[/math], где [math]i = 1..\frac{N}{2}[/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math];

затем левый нижний блок

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N[/math], [math]j = 1.. \frac{N}{2}[/math].

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N [/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для заполнения матрицы [math]H[/math] размера [math]N\times N[/math] необходимо [math]\;N^2\;[/math] присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с квадратичной сложностью.

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Граф отображает шаг, стрелками показаны пересылки данных, в узлах происходит операция присвоения значений и инверсия.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо. Внутри каждой части происходит [math]2^{2N}-2^{2(N-1)}[/math] независимых присвоений, где [math]N[/math] - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге [math]N[/math] равна [math]2^N[/math]. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: [math]N[/math] - размерность матрицы.

Объем входных данных: 1.

Выходные данные: матрица размером [math]N\times N[/math].

Объем выходных данных: [math] N^2[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Вычислительная мощность алгоритма равна суммарному объему входных и выходных данных: [math]N^2 + 1[/math].

Алгоритм полностью детерминирован.

Не смотря на существование недоказанной гипотезы, что существует алгоритм, способный построить матрицы Адамара, размера кратного 4, данный алгоритм вычисляет только матрицы размера степени 2.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров [1:32];
• размер матрицы [32: 16384].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности алгоритма:

• минимальная эффективность реализации 0,016%;
• максимальная эффективность реализации 92%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации построения Матрицы Адамара в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации построения матрицы Адамара:

• По числу процессов:
• По размеру задачи:
• По двум направлениям:

Рисунок 2. Параллельная реализация построения матрицы Адамара. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Реализация MATLAB

Реализация PYTHON

Реализация WOLFRAM

На языке Java реализован класс Hadamard не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке.

3 Литература

1. Мак-Вильямс Ф., Слоэн Н. — "Теория кодов, исправляющих ошибки" (1979)

2. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский — "Алгебраический аппарат квантовой информатики 2"

3. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский — "Коды и математика" (1983)