Участник:BDA/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(nm^2)[/math]
Объём входных данных	[math]nm[/math]
Объём выходных данных	[math]nm[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(nm)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(m)[/math]

Основные авторы описания: Белов Н. А. (пункты 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.9, 1.10, 2.4, 2.7, 3), Богомолов Д. А. (пункты 1.1, 1.2, 1.6, 1.7, 1.8, 2.4, 3).

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.

Ортогонализация Грама–Шмидта (процесс Грама–Шмидта) ― наиболее известный алгоритм ортогонализации. Назван в честь Йоргена Педерсена Грама и Эрхарда Шмидта, однако ранее уже появлялся в работах Лапласа и Коши. Является частным случаем разложения Ивасавы, так как может быть представлен как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами.

Рассматриваемый алгоритм применяется для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей, в протоколах безопасности, для повышения экономичности алгоритмов оценивания параметров моделей объектов управления и в других областях.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные. [math]m[/math] линейно независимых векторов [math]\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m[/math] c размерностью пространства [math]n[/math], записанных в матрице [math]A[/math] с элементами [math]\alpha_{ij}[/math].

Выходные данные. [math]m[/math] ортогональных векторов [math]\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_m[/math] c размерностью пространства [math]n[/math], записанных в матрице [math]B[/math] с элементами [math]\beta_{ij}[/math].

Определим оператор проекции (проецирует вектор [math]\mathbf{a}[/math] коллинеарно вектору [math]\mathbf{b}[/math]) [math]\mathbf{proj_b a = \frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle }b}[/math], где [math]\mathbf{\left \langle a,b \right \rangle}[/math] ― скалярное произведение векторов [math]\mathbf{a}[/math] и [math]\mathbf{b}[/math].

Тогда ортогональные векторы вычисляются следующим образом:

[math]\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1[/math]

[math]\mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_2 [/math]

[math]\mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_3 [/math]

[math]\vdots[/math]

[math]\mathbf{b}_m = \mathbf{a}_m - \sum_{j=1}^{m-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_m[/math]

Или поэлементно:

[math]\beta_{1j} = \alpha_{1j}[/math]

[math]\beta_{ij} = \alpha_{ij} - (\sum_{k=1}^{i-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_k} \mathbf{a}_i)_j = \alpha_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1}\frac{\sum_{s=1}^{n}\alpha_{is}\beta_{ks}}{\sum_{s=1}^{n}\beta_{ks}\beta_{ks}}\beta_{kj} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на вычисление сумм [math]\sum_{i=1}^{j-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_i} \mathbf{a}_k \forall j: j=\overline{1, m}[/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

Из математического описания алгоритма и описания ядра алгоритма в предыдущих разделах следует, что основную часть данного метода составляют операции вычисления проекций векторов, а также их сумм. Таким образом, в алгоритме можно выделить следующие макрооперации: скалярное произведение векторов в количестве [math](m-1)m[/math], а также множественные (всего [math]m-1[/math]) вычисления сумм [math]\mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\left \langle a_i,b_j \right \rangle}{\left \langle b_j,b_j \right \rangle }b_j[/math].

Макроструктура может быть представлена в следующем виде:

1. Вычисление проекций [math]\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_i \forall j: j=\overline{1, i - 1}[/math] для текущего шага [math]i[/math].
2. Вычисление суммы [math]\mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\left \langle a_i,b_j \right \rangle}{\left \langle b_j,b_j \right \rangle }b_j[/math] для текущего шага [math]i[/math].
3. Переход на следующий шаг.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Рассмотрим алгоритм, написанный в виде функции для математической системы MATLAB.

Входные данные.

Матрица [math]A[/math] с линейно-независимыми векторами в столбцах.

Выходные данные.

Матрица [math]Q[/math] с ортонормированным базисом [math]A[/math].

Использование.

Q = gramschmidt( A );

Реализация.

function Q = gramschmidt( A )
% Число векторов.
n = size( A, 2 );
 
% Инициализируем выходную матрицу.
Q = zeros( n );
 
% Преобразуем каждый вектор в базисный:
% (1) j-ый базисный вектор будет ортогонален каждому из предыдущих 1..j-1 векторов;
% (2) будет единичной длины.
for j = 1 : n
    % Выбираем j-ый вектор
    u = A( :, j );
    
    % Специальный случай для j = 1: просто нормируем этот вектор и помещаем
    % первым в найденный базис, так как нет векторов, относительно которых
    % нужно было бы делать его ортогональным.

    % Удаляем из оригинального вектора "u" все компоненты натянутые на базис
    % из векторов 1..j-1, их вклад будет удален.
    % => j-ый вектор ортогонален остальным.
    % Предыдущие базисные вектора были найдены на предыдуших шагах.
    % => соблюдаем принцип ортогональности, но не ортонормированности.
    for i = 1 : j - 1
        u = u - proj( Q(:,i), A(:,j) );
    end
     
    % Нормируем вектор
    Q(:,j) = u ./ norm( u );
end
end
 
% Проекция вектора "a" коллинеарно вектору "e".
function p = proj( e, a )
p = (e' * a) / (e' * e) .* e;
end

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Рассмотрим [math]m[/math] векторов длины [math]n[/math].

1. Скалярное произведение векторов требует [math]n-1[/math] сложение и [math]n[/math] произведений.
2. Вычитание проекции вектора требует [math]2[/math] скалярных произведения, [math]1[/math] деление, [math]n[/math] произведений и [math]n[/math] сложений, то есть:
   1. [math]3n-2[/math] ([math]+[/math]);
   2. [math]3n[/math] ([math]\times[/math]);
   3. [math]1[/math] ([math]\div[/math]).
3. Вычисление [math]i[/math]-го вектора требует [math]i-1[/math] вычитаний проекций, то есть:
   1. [math](3n-2)(i-1)[/math] ([math]+[/math]);
   2. [math]3n(i-1)[/math] ([math]\times[/math]);
   3. [math]i-1[/math] ([math]\div[/math]).
4. Мы вычисляем вектора от [math]i=1[/math] до [math]m[/math], поэтому множители [math](i-1)[/math] выражаются треугольным числом [math](m-1)\frac{m}{2}[/math].
   1. [math](3n-2)(m-1)\frac{m}{2}[/math] ([math]+[/math]);
   2. [math]3n(m-1)\frac{m}{2}[/math] ([math]\times[/math]);
   3. [math](m-1)\frac{m}{2}[/math] ([math]\div[/math]).

Таким образом, cложность алгоритма [math]O(nm^2)[/math].

1.7 Информационный граф

Граф состоит из элементов 2 видов: прямоугольников и овалов. Прямоугольниками обозначаются данные, причем красному цвету соответствуют входные данные, а зеленому ― выходные. Овалы означают операции над переданными данными. Голубым цветом обозначены более сложно организованные операции, а синим ― менее. Для нахождения [math]\mathbf{b}_i[/math] вектора требуются значения всех векторов с номерами, меньшими [math]i[/math], однако, расчеты проекций можно начинать, не дожидаясь вычисления всех векторов, а производить сразу, как только соответствующий ортогональный вектор будет рассчитан. Эта зависимость и отражена на графе ниже.

Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для построения базиса методом Грама–Шмидта в параллельном случае, имея в распоряжении [math]m[/math] и более потоков, необходимо выполнить следующие ярусы:

1. [math]m-1[/math] ярус вычисления проекций;
2. [math]m-1[/math] ярус вычитания векторов.

Эти ярусы чередуются. Количество операций проекции и вычитания векторов уменьшается на единицу в каждом следующем ярусе. Вычисление проекции вектора требует 2 скалярных произведения, 1 деление и [math]n[/math] произведений, то есть:

1. [math]2n-2[/math] ([math]+[/math]);
2. [math]3n[/math] ([math]\times[/math]);
3. [math]1[/math] ([math]\div[/math]).

Если считать, что вычисление проекции происходит последовательно, то сложность по высоте [math]O(n)[/math], по ширине [math]O(1)[/math] (то есть одна операция проекции в ярусе представляется набором ярусов с простыми последовательными операциями). В самом первом ярусе находится [math]m-1[/math] проекций и это наибольшее количество операций проекций, тогда сложность по высоте будет [math]O(n)[/math], по ширине ― [math]O(m)[/math].

Вычисление вычитания векторов требует [math]n[/math] вычитаний, и если считать, что операция происходит последовательно, то сложность по высоте [math]O(n)[/math], по ширине [math]O(1)[/math]. Во втором ярусе находится [math]m-1[/math] вычитаний и это наибольшее количество операций вычитаний, тогда сложность по высоте будет [math]O(n)[/math], по ширине ― [math]O(m)[/math].

Из вышеизложенного следует, что при классификации по ширине ЯПФ алгоритм имеет сложность [math]O(m)[/math], а по высоте ― [math]O(nm)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные. Матрица [math]A[/math] с элементами [math]\alpha_{ij}[/math], где [math]i = \overline{1, m}[/math] (количество линейно независимых векторов) и [math]j = \overline{1, n}[/math] (размерность пространства), при этом [math]m \leqslant n[/math].

Объем входных данных. [math]mn[/math]

Выходные данные. Матрица [math]B[/math] с элементами [math]\beta_{ij}[/math], где [math]i = \overline{1, m}[/math] и [math]j = \overline{1, n}[/math], тогда [math]b_{1}, \dots, b_{m}[/math] — система ортогональных векторов.

Объем выходных данных. [math]mn[/math]

1.10 Свойства алгоритма

1. Отношение последовательной и параллельной сложности в предположении доступности неограниченного числа необходимых ресурсов — [math]m[/math]. При этом необходимо отметить, что отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных (вычислительная мощность алгоритма) — линейное.
2. Алгоритм почти полностью детерминирован, то есть гарантирована единственность результата выполнения. Это означает, что возможно накопление ошибок округления, то есть векторы выходной матрицы часто не точно ортогональны. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама-Шмидта называют численно неустойчивым. Однако, процесс Грама-Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Такой алгоритм называется модифицированным процессом Грама-Шмидта. Рассмотрим его отличие подробнее.
   [math] \begin{array}{l} \mathbf{b}_j\\ \\ \mathbf{b}_j \end{array} \begin{array}{c} = \\ \\ = \end{array} \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \begin{array}{c} \mathbf{a}_j \\ \\ \mathbf{a}_j \end{array} \begin{array}{c} - \\ \\ - \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_j \\ || \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_j \end{array} }_{\mathbf{a}_j^{(1)}} \begin{array}{c} - \\ \\ - \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2}\,\mathbf{a}_j \\ || \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2}\,\mathbf{a}_j^{(1)} \end{array} }_{\mathbf{a}_j^{(2)}} \begin{array}{c} - \\ \\ - \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3}\,\mathbf{a}_j \\ || \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3}\,\mathbf{a}_j^{(2)} \end{array} }_{\mathbf{a}_j^{(3)}} \begin{array}{ccc} - & \ldots & - \\ \\ - & \ldots & - \end{array} \begin{array}{cc} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j-1}}\,\mathbf{a}_j & (1) \\ || & \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j-1}}\,\mathbf{a}_j^{(j-2)} & (2) \end{array} [/math]
   Формула (1) показывает вычисление [math]\mathbf{b}_j[/math] в классическом процессе, а формула (2) — в модифицированном.
   Разница между ними заключается в том, от каких векторов вычисляются компоненты: от [math]\mathbf{a}_j[/math] в классическом процессе или от результата предыдущего вычитания, то есть от [math]\mathbf{a}_j^{(k)}[/math] в модифицированном процессе. Таким образом, [math]\mathbf{a}_j^{(k)}[/math] представляет собой [math]\mathbf{a}_j[/math], из которого удалены компоненты в направлениях [math]\mathbf{b}_1,\,\;\ldots,\;\mathbf{b}_{k}[/math]. Компонента вектора [math]\mathbf{a}_j[/math] в направлении [math]\mathbf{b}_{k+1}[/math] при этом удалении не затрагивается и поэтому она в [math]\mathbf{a}_j^{(k)}[/math] такая же, как в [math]\mathbf{a}_j[/math].
3. Процесс Грама-Шмидта может применяться к бесконечной последовательности линейно независимых векторов, а также к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт [math]\mathbf{0}[/math] (нулевой вектор) на шаге [math]j[/math], если [math]\mathbf{a}_j[/math] является линейной комбинацией векторов [math]\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_{j-1}[/math]. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
4. Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами — QR-разложение.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Срок сдачи продлен до 18 ноября.

- Реализация: полностью собственная или обращение к библиотечной функции (Intel MKL, PETSc, FFTW, ScaLAPACK). В любом случае, текст исследуемой программы должен быть представлен в отчете. - Компьютерная платформа может быть любой (Ломоносов, BlueGene или что-то иное). Описание компьютерной платформы должно быть в отчете. - Должен быть представлен график сильной масштабируемости (зависимости производительности от числа процессов; если при этом ещё и зависимость от размера задачи - это только в плюс). График должен выглядеть пристойно и понятно, оси и единицы измерения должны быть подписаны. К графику обязательно должны быть словесные пояснения! Требовалось подобрать такие размеры задачи и числа процессоров, чтобы отразить на графике характерные точки, описывающие свойства алгоритма и программы. - В том (редком) случае, когда иссле6дуемый алгоритм полностью последовательный (пара человек обращалась с таким вопросом), это должно быть явно написано и должна быть исследована масштабируемость вширь (в зависимости от размера задачи).

2.7 Существующие реализации алгоритма

Данный алгоритм реализован во множестве библиотек и математических программных пакетах.

1. Библиотека Epicycle (C#).
2. Библиотека Spectral Python (SPy).
3. Библиотека vect (Haskell).

2.7.1 Пакет Mathematica

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета Mathematica, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы [math]\{-2,\;1,\;0\}[/math], [math]\{-2,\;0,\;1\}[/math], [math]\{-0{.}5,\;-1,\;1\}[/math].

Projection[v1_, v2_] := (v1.v2*v2)/v2.v2
MultipleProjection[v1_, vecs_] := Plus @@ (Projection[v1, #1] &) /@ vecs
GramSchmidt[mat_] := Fold[Join[#1, {#2 - MultipleProjection[#2, #1]}] &, {}, mat]
GramSchmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0.5, -1, 1}}]

2.7.2 Пакет Maxima

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета Maxima, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы [math]\{-2,\;1,\;0\}[/math], [math]\{-2,\;0,\;1\}[/math], [math]\{-0{.}5,\;-1,\;1\}[/math].

load(eigen);
x: matrix ([-2,1,0],[-2,0,1],[-0.5,-1,1]);
y: gramschmidt(x);

2.7.3 Пакет MATLAB

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета MATLAB, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. В данном пакете уже существует функция, которая осуществляет данный процесс. Столбцы входной матрицы предполагаются линейно-независимыми, количество векторов и их координат могут быть произвольными. Функция возращает матрицу X с ортонормированными столбцами и обратимую верхне-треугольную матрицу Y.

В данном случае для примера взяты векторы [math]\{-2,\;1,\;0\}[/math], [math]\{-2,\;0,\;1\}[/math], [math]\{-0{.}5,\;-1,\;1\}[/math].

[x y]=gschmidt([-2 1 0; -2 0 1; -0.5 -1 1])