Алгоритм Беллмана-Форда: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Строка 5: Строка 5:
  
 
=== Математическое описание ===
 
=== Математическое описание ===
 +
Пусть задан граф <math>G = (V, E)</math> с весами рёбер <math>f(e)</math> и выделенной вершиной-источником <math>u</math>. Обозначим через <math>d(v)</math> кратчайшее расстояние от источника <math>u</math> до вершины <math>v</math>.
 +
 +
Алгоритм Беллмана-Форда ищет функцию <math>d(v)</math> как единственное решение уравнения
 +
:<math>
 +
        d(v) = \min \{ d(w) + f(e) \mid e = (w, v) \in E \}, \quad \forall v \ne u,
 +
</math>
 +
с начальным условием <math>d(u) = 0</math>.
 +
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 
=== Макроструктура алгоритма ===
 
=== Макроструктура алгоритма ===

Версия 16:45, 25 июня 2015

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Беллмана-Форда[1][2][3] предназначен для решения задачи поиска кратчайшего пути на графе. Для заданного ориентированного взвешенного графа алгоритм находит кратчайшие расстояния от выделенной вершины-источника до всех остальных вершин графа. Алгоритм Беллмана-Форда масштабируется хуже других алгоритмов решения указанной задачи (сложность [math]O(mn)[/math] против [math]O(m + n\ln n)[/math] у алгоритма Дейкстры), однако его отличительной особенностью является применимость к графам с произвольными, в том числе отрицательными, весами.

1.2 Математическое описание

Пусть задан граф [math]G = (V, E)[/math] с весами рёбер [math]f(e)[/math] и выделенной вершиной-источником [math]u[/math]. Обозначим через [math]d(v)[/math] кратчайшее расстояние от источника [math]u[/math] до вершины [math]v[/math].

Алгоритм Беллмана-Форда ищет функцию [math]d(v)[/math] как единственное решение уравнения

[math] d(v) = \min \{ d(w) + f(e) \mid e = (w, v) \in E \}, \quad \forall v \ne u, [/math]

с начальным условием [math]d(u) = 0[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма

Алгоритм Δ-шагания может рассматриваться как параллельная версия алгоритма Беллмана-Форда.

1.9 Описание входных и выходных данных

1.10 Свойства алгоритма

Алгоритм может распознавать наличие отрицательных циклов в графе. Ребро [math]e = (v, w)[/math] лежит на таком цикле, если вычисленные алгоритмом кратчайшие расстояния [math]d(v)[/math] удовлетворяют условию

[math] d(v) + f(e) \lt d(w), [/math]

где [math]f(e)[/math] – вес ребра [math]e[/math]. Условие может быть проверено для всех рёбер графа за время [math]O(m)[/math].

2 Программная реализация алгоритмов

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Описание локальности данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

  1. ↑ Bellman, Richard. “On a Routing Problem.” Quarterly of Applied Mathematics 16 (1958): 87–90.
  2. ↑ Ford, L R. Network Flow Theory. Rand.org, RAND Corporation, 1958.
  3. ↑ Moore, Edward F. “The Shortest Path Through a Maze,” International Symposium on the Theory of Switching, 285–92, 1959.
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Алгоритм_Беллмана-Форда&oldid=1986