Уровень алгоритма

Участник:Blizn/Хранение ненулевых элементов разреженной матрицы. Умножение разреженной матрицы на вектор.: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 1: Строка 1:
{{Assignment}}
 
 
 
{{algorithm
 
{{algorithm
 
| name              = Умножение разреженной матрицы на вектор
 
| name              = Умножение разреженной матрицы на вектор

Версия 11:09, 30 ноября 2016


Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность O(l)
Объём входных данных 2l+m+n+1
Объём выходных данных n
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы O(m)
Ширина ярусно-параллельной формы O(n)

Выполнила: И.В. Близнякова (611 группа).

Содержание

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма[1]

Разрежённая матрица — это матрица с преимущественно нулевыми элементами. В противном случае, если бо́льшая часть элементов матрицы ненулевые, матрица считается плотной.

Среди специалистов нет единства в определении того, какое именно количество ненулевых элементов делает матрицу разрежённой. Разные авторы предлагают различные варианты. Для матрицы порядка n число ненулевых элементов:

  • есть O(n). Такое определение подходит разве что для теоретического анализа асимптотических свойств матричных алгоритмов;
  • в каждой строке не превышает 10 в типичном случае;
  • ограничено n^{1+\gamma}, где \gamma \lt 1.
  • таково, что для данного алгоритма и вычислительной системы имеет смысл извлекать выгоду из наличия в ней нулей.

1.1.1 Хранение разреженной матрицы

1.1.1.1 Формат RR(C)O

Рассмотрим сначала формат RR(C)O. Сокращенное название данного формата происходит от английского словосочетания "Row - wise Representation Complete and Ordered" (строчное представление, полное и упорядоченное). В данном формате вместо одного двумерного массива, используются три одномерных. Значения ненулевых элементов матрицы и соответствующие им столбцовые индексы хранятся в этом формате по строкам в двух массивах AN и JA. Массив указателей IA, используется для ссылки на компоненты массивов AN и JA, с которых начинается описание очередной строки. Последняя компонента массива IA содержит указатель первой свободной компоненты в массивах AN и JA, т.е. равна числу ненулевых элементов матрицы, увеличенному на единицу. Здесь уместно привести пример.

Рассмотрим матрицу A:

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix},

тогда ее представление в формате RR(C)O будет иметь вид:

  IA = [ 1 2 4 4 5 6 ]
  JA = [ 4 1 3 2 3 ]
  AN = [ 2 1 3 6 4 ]

Т.е. массив AN содержит все не нулевые элементы исходной матрицы A, массив JA номер столбца в котором находится соответствующий элемент из AN и наконец массив IA содержит номер с которого начинается описание элементов в массивах JA и AN. Таким образом информация об элементах 2-ой строки матрицы хранится в элементах с IA[2] = 2 по IA[3] - 1 = 3 включительно массивов JA и AN. Можно обратить внимание, что IA[3] = IA[4] = 4, а это означает, что 3-я строка матрицы A нулевая.

В общем случае описание r-й строки матрицы A хранится в компонентах с IA[r] до IA[r + 1] - 1 включительно массивов AN и JA. Если IA[r + 1] = IA[r], то это означает, что r-я строка нулевая. Количество элементов в массиве IA на единицу больше, чем число строк исходной матрицы, а количество элементов в массивах JA и AN равно числу ненулевых элементов исходной матрицы.

Данный способ представления называют полным, поскольку представлена вся матрица A, упорядоченным, поскольку элементы каждой строки матрицы A хранятся в соответствии с возрастанием столбцовых индексов, и строчным, поскольку информация о матрице A указывается по строкам.

Массивы IA и JA представляют портрет (структуру) матрицы A, задаваемый как множество списков смежности ассоциированного с A графа. Если алгоритм, реализующий какую-либо операцию над разреженными матрицами, разбит на этапы символической обработки, на котором определяется портрет результирующей матрицы, и численной обработки, на котором определяются значения элементов результирующей матрицы, то массивы IA и JA заполняются на первом этапе, а массив AN - на втором.

1.1.1.2 Формат RR(C)U

Рассмотрим теперь формат RR(C)U.

Сокращенное название данного формата происходит от английского словосочетания "Row - wise Representation Complete and Unordered" (строчное представление, полное, но неупорядоченное). Формат RR(C)U отличается от RR(C)O тем, что в данном случае соблюдается упорядоченность строк, но внутри каждой строки элементы исходных матриц могут храниться в произвольном порядке. Для матрицы A нашего примера вполне можно было бы использовать и строчное представление, полное, но неупорядоченное такое:

  IA = [ 1 2 4 4 5 6 ]
  JA = [ 4 3 1 2 3 ]
  AN = [ 2 1 3 6 4 ]

Такие неупорядоченные представления могут быть очень удобны в практических вычислениях. Результаты большинства матричных операций получаются неупорядоченными, а их упорядочение стоило бы значительных затрат машинного времени. В то же время, за немногими исключениями, алгоритмы для разреженных матриц не требуют, чтобы их представления были упорядоченными.

1.1.1.3 Замечания

Несколько замечаний по поводу рассмотренных форматов представления:

  1. Очевидно, что представление матрицы в формате RR(C)O так же является и представлением в формате RR(C)U, но не наоборот.
  2. Из представления матрицы в формате RR(C) нельзя получить информацию о точном количестве столбцов исходной матрицы.
  3. Целесообразно (в вопросе экономии памяти) использовать представления RR(C) в случае, если матрица содержит значительное число нулевых элементов.

1.1.2 Умножение разреженной матрицы на вектор

Важным приложением этих алгоритмов является вычисление векторов Ланцоша, необходимое при итерационном решении линейных уравнений методом сопряженных градиентов, а также при вычислении собственных значений и собственных векторов матрицы. Достоинство этих процедур, с вычислительной точки зрения, состоит в том, что единственная требуемая матричная операция - это повторное умножение матрицы на последовательность заполненных векторов; сама матрица не меняется.

Мы рассмотрим умножение разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U посредством массивов IA, JA, AN на заполненный вектор-столбец.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: разреженная матрица общего вида A с элементами a_{ij} (i = 1,...,n и j = 1,...,m). Заполненный вектор-столбец b с элементами b_{j} (j =1,...,m).

Вычисляемые данные: заполненный вектор-столбец c с элементами c_{i} (i = 1,...,n).

Формулы метода:

c_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{l_{i}} a_{i,j=j(k)}b_{j=j(k)},

где l_{i} - количество ненулевых элементов строки i матрицы A, j(k) - индекс k-го ненулевого элемента матрицы A.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии умножения разреженной матрицы на вектор можно составить из множественных (всего их n) вычислений скалярных произведений строк матрицы:

c_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{l_{i}} a_{i,j=j(k)}b_{j=j(k)}.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего n) вычисления сумм:

c_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{l_{i}} a_{i,j=j(k)}b_{j=j(k)},

которые могут вычисляться в произвольном порядке.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Далее предполагаем, что разреженная матрица общего вида A хранится в форме RR(C)U посредством массивов IA, JA, AN. Последовательность исполнения метода следующая:

Выполнять для i от 1 до n

  1. c_{i} = 0
  2. IAA = IA[i]
  3. IAB = IA[i + 1] - 1
  4. c_{i} = \sum\limits_{k = IAA}^{IAB} AN[k]b_{JA[k]}.

После этого (если i \le n) происходит переход к шагу 1 с бо́льшим i.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для умножения разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U, размером n \times m на заполненный вектор m \times 1 в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

  • l сложений,
  • l умножений.

Умножения и сложения составляют основную часть алгоритма.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения разреженной матрицы на вектор относится к алгоритмам O(l).

1.7 Информационный граф

Опишем граф алгоритма[2][3][4] как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей одной размерности.

Первая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию a \cdot b. Естественно введённые координаты области таковы:

  • i — меняется в диапазоне от 1 до n, принимая все целочисленные значения;
  • j — меняется в диапазоне от 1 до k, принимая все целочисленные значения,

где k = k(i) = IA[i+1]-IA[i].

Аргументы операции следующие:

  • a - элемент входных данных, а именно AN[IA_{i}+j-1].
  • b - элемент входных данных, а именно b[IA_{i}+j-1].

Результат срабатывания операции является промежуточным данным алгоритма.

Вторая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция a + b. Естественно введённые координаты области таковы:

  • i - меняется в диапазоне от 1 до n, принимая все целочисленные значения;
  • j - меняется в диапазоне от 1 до k-1, принимая все целочисленные значения,

где k = k(i) = IA[i+1]-IA[i].

Аргументы операции следующие:

  • a:
    • при j = 1 - результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатами (i, j);
    • при j \gt 1 - результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами (i, j - 1);
  • b — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатами (i, j + 1).

Результат срабатывания операции:

  • при j \lt k - 1 является промежуточным данным алгоритма;
  • при j = k - 1 является выходным данным c_{i}.

Описанный граф можно посмотреть на рис.1. Здесь вершины первой группы обозначены красным цветом и отмечены знаком умножения, вершины второй - зелёным цветом и знаком сложения. Вершины, соответствующие входным данным обозначены белым цветом и выходным - синим.

Рисунок 1. Граф алгоритма умножения разреженной матрицы на вектор

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для умножения разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U, размерности n \times m на заполненный вектор m \times 1 в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

  • Не более чем m сложений и умножений (n вычислений в каждом из ярусов)

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения разреженной матрицы на вектор относится к алгоритмам со сложностью O(m). При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет O(n).

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: разреженная матрица общего вида A размерности n \times m, хранимая в форме RR(C)U посредством массивов IA, JA, AN. Заполненный вектор-столбец b с элементами b_{j} размерности m \times 1.

Объём входных данных: 2l+m+n+1, где l - количество ненулевых элементов в матрице A.

Выходные данные: заполненный вектор-столбец c с элементами c_{i} (i = 1,...,n).

Объём выходных данных: n.

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является линейной.

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.

Пусть l - количество ненулевых элементов матрицы A размерности n \times m. Пусть x - объем памяти, используемый для хранения значения элемента матрицы, y - объём памяти, используемый для хранения номера столбца или строки. В таком случае для хранения матрицы в стандартном представлении нам потребуется объем памяти, равный x \cdot n \cdot m, для хранения в формате RR(C) - y(n + 1) + (x + y)l. Таким образом хранение в формате RR(C) не является эффективным для матриц, в которых l \gt \frac{xnm - y(n+1)}{x+y}.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Параллельная реализация алгоритма заключается в следующем:

  1. Каждый процессор считывает входные данные из файла, зависящего от его номера. Данные имеют вид: вектор b и набор определённых строк матрицы A в формате RR(C)U в зависимости от номера процессора и их числа;
  2. Процессоры проводят вычисления значений вектора c в зависимости от имеющихся данных;
  3. Все процессоры отправляют результаты вычисления процессору, выбранному главным, и главный процессор выводит результат вычислений.

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма умножения разреженной матрицы на вектор. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов"[5] Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

  • число процессоров [1 : 128] по степеням 2;
  • размер матрицы [1000 : 10000] с шагом 1000.
Рисунок 2. Время работы программы в зависимости от количества процессоров и размера матрицы

Можно заметить, что при небольшом количестве входных данных, и большом количестве процессоров эффективность распараллеливания падает до нуля, поскольку время вычисления элементов вектора c становится несоизмеримо малым по сравнению с временем, затраченным на пересылку в пункте (3).

Рисунок 4. Эффективность распараллеливания в зависимости от количества процессоров и размера матрицы

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существующие реализации:

SciPy [1],

MatLab [2],

Intel MKL [3].

3 Литература

  1. С.Писсанецки. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988.
  2. Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений// М.: Изд. Моск. ун-та, 1991. 345 с.
  3. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ - Петербург, 2002. – 608 с.
  4. Фролов А.В.. Принципы построения и описание языка Сигма. Препринт ОВМ АН N 236. М.: ОВМ АН СССР, 1989.
  5. Воеводин Вл., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко Д., Стефанов К., Воеводин Вад. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» // Открытые системы, 2012, N 7, С. 36-39.