Методы решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Строка 12: Строка 12:
 
</math>
 
</math>
  
 +
На этой странице представлены разные методы решения такой СЛАУ.
  
−
=== Метод прогонки ===
+
=== Методы, основанные на стандартном <math>LU</math>-разложении трёхдиагональной матрицы <math>A</math> на две двухдиагональные ===
  
−
[[Прогонка]]<ref>Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.</ref> – последовательный алгоритм решения трёхдиагональной СЛАУ – является частным случаем общего метода исключения неизвестных, однако получила специальное название из-за распространённости задач такого типа в прикладных исследованиях.
+
==== Метод прогонки ====
  
−
=== Метод сдваивания Стоуна ===
+
[[Прогонка]]<ref name="setki">Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.</ref> – последовательный алгоритм решения трёхдиагональной СЛАУ – является частным случаем общего метода исключения неизвестных, однако получила специальное название из-за распространённости задач такого типа в прикладных исследованиях. В математической литературе<ref name="setki" /> указано, что применение метода прогонки эквивалентно последовательному решению двух задач: <math>LU</math>-разложению трёхдиагональной матрицы <math>A</math> на две двухдиагональные с помощью [[Компактная схема метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы, последовательный вариант|компактной схемы метода Гаусса]] и затем решению двух СЛАУ с двухдиагональными матрицами с помощью обычной [[Обратная подстановка в СЛАУ с двухдиагональной матрицей|обратной подстановки]]. Метод почти последователен (исключением является то, что решение первой из двухдиагональных СЛАУ можно выполнять почти параллельно с разложением трёхдиагональной матрицы).
  
−
[[Метод сдваивания Стоуна]]<ref>Stone H.S. An Efficient Parallel Algorithm for the Solution of a Tridiagonal Linear System of Equations // J. ACM, Vol. 20, No. 1 (Jan. 1973), P. 27-38.</ref><ref>Stone H.S. Parallel Tridiagonal Equation Solvers // ACM Trans. on Math. Software, Vol. 1, No. 4 (Dec. 1975), P. 289-307.</ref>
+
==== Метод сдваивания Стоуна ====
  
−
=== Метод циклической редукции ===
+
[[Метод сдваивания Стоуна]]<ref>Stone H.S. An Efficient Parallel Algorithm for the Solution of a Tridiagonal Linear System of Equations // J. ACM, Vol. 20, No. 1 (Jan. 1973), P. 27-38.</ref><ref>Stone H.S. Parallel Tridiagonal Equation Solvers // ACM Trans. on Math. Software, Vol. 1, No. 4 (Dec. 1975), P. 289-307.</ref> разработан в начале 70-х гг. 20го века. Как и [[Прогонка|прогонка]], которую он должен был заменить, [[Метод сдваивания Стоуна|метод сдваивания Стоуна для решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами]] состоит из двух частей: [[Алгоритм сдваивания Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы|алгоритма сдваивания Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы]] и  [[Метод сдваивания Стоуна для решения двухдиагональных СЛАУ|метода сдваивания Стоуна для решения двухдиагональных СЛАУ]]. По ряду причин, изложенных на соответствующих страницах, первый из них не применяется на практике, а второй - малораспространён.
−
[[Метод циклической редукции]]<ref>Buneman O. A Compact Non-iterative Poisson Solver // Rep. 294, Inst. for Plasma Res., Stanford U., Stanford, Calif., 1969.</ref><ref>Buzbee B.L., Golub G.H., Nielson C.W. On Direct Methods for Solving Poisson's Equations // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 7, No. 4 (Dec. 1970), P. 627-656.</ref>
 
  
 +
==== Последовательно-параллельный вариант прогонки ====
  
−
=== Метод окаймления ===
+
=== Другие методы ===
−
[[Метод окаймления]]
 
  
 +
==== Метод циклической редукции ====
 +
[[Метод циклической редукции]]<ref>Buneman O. A Compact Non-iterative Poisson Solver // Rep. 294, Inst. for Plasma Res., Stanford U., Stanford, Calif., 1969.</ref><ref>Buzbee B.L., Golub G.H., Nielson C.W. On Direct Methods for Solving Poisson's Equations // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 7, No. 4 (Dec. 1970), P. 627-656.</ref>
  
−
=== Последовательно-параллельный вариант прогонки ===
+
==== Метод окаймления ====
 +
[[Метод окаймления]]
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==

Версия 14:54, 9 июля 2015

1 Методы решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами

Во многих математических моделях удаётся свести задачу к СЛАУ[1][2] [math]Ax = b[/math] с трёхдиагональной матрицей

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

На этой странице представлены разные методы решения такой СЛАУ.

1.1 Методы, основанные на стандартном [math]LU[/math]-разложении трёхдиагональной матрицы [math]A[/math] на две двухдиагональные

1.1.1 Метод прогонки

Прогонка[3] – последовательный алгоритм решения трёхдиагональной СЛАУ – является частным случаем общего метода исключения неизвестных, однако получила специальное название из-за распространённости задач такого типа в прикладных исследованиях. В математической литературе[3] указано, что применение метода прогонки эквивалентно последовательному решению двух задач: [math]LU[/math]-разложению трёхдиагональной матрицы [math]A[/math] на две двухдиагональные с помощью компактной схемы метода Гаусса и затем решению двух СЛАУ с двухдиагональными матрицами с помощью обычной обратной подстановки. Метод почти последователен (исключением является то, что решение первой из двухдиагональных СЛАУ можно выполнять почти параллельно с разложением трёхдиагональной матрицы).

1.1.2 Метод сдваивания Стоуна

Метод сдваивания Стоуна[4][5] разработан в начале 70-х гг. 20го века. Как и прогонка, которую он должен был заменить, метод сдваивания Стоуна для решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами состоит из двух частей: алгоритма сдваивания Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы и метода сдваивания Стоуна для решения двухдиагональных СЛАУ. По ряду причин, изложенных на соответствующих страницах, первый из них не применяется на практике, а второй - малораспространён.

1.1.3 Последовательно-параллельный вариант прогонки

1.2 Другие методы

1.2.1 Метод циклической редукции

Метод циклической редукции[6][7]

1.2.2 Метод окаймления

Метод окаймления

2 Литература

  1. ↑ Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
  2. ↑ Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
  3. ↑ 3,0 3,1 Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
  4. ↑ Stone H.S. An Efficient Parallel Algorithm for the Solution of a Tridiagonal Linear System of Equations // J. ACM, Vol. 20, No. 1 (Jan. 1973), P. 27-38.
  5. ↑ Stone H.S. Parallel Tridiagonal Equation Solvers // ACM Trans. on Math. Software, Vol. 1, No. 4 (Dec. 1975), P. 289-307.
  6. ↑ Buneman O. A Compact Non-iterative Poisson Solver // Rep. 294, Inst. for Plasma Res., Stanford U., Stanford, Calif., 1969.
  7. ↑ Buzbee B.L., Golub G.H., Nielson C.W. On Direct Methods for Solving Poisson's Equations // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 7, No. 4 (Dec. 1970), P. 627-656.
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Методы_решения_СЛАУ_с_трёхдиагональными_матрицами&oldid=2110