Участник:Арутюнов А.В.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n^2$ - одна итерация
Объём входных данных	$n * m + 1$
Объём выходных данных	$n$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы
Ширина ярусно-параллельной формы

Автор описания: Арутюнов А.В.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если $x_n$ — некоторое приближение к корню $x_*$ уравнения $f(x)=0$, $f(x)$ $C^1$, то следующее приближение определяется как корень касательной f(x) к функции, проведенной в точке $x_n$.

Уравнение касательной к функции f(x) в точке имеет вид:

[math]f^(x_j)=y-f(x_n)/(x-x_n)[/math]

В уравнении касательной положим y=0 и $x=x_n+1$.

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных.

1.1.1 Математическое описание алгоритма

Пусть необходимо найти решение системы:

$\left\{\begin{matrix}f_1(x_1, ..., x_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right.$

где $f = (f_1, ..., f_n) : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ - непрерывно дифференцируемое отображение в окрестности решения.

При начальном приближении $x_0$ и сделанных предположениях $(k+1)$-я итерация метода будет выглядеть следующим образом: $x_{k+1} = x_k - [f'(x_k)]^{-1}f(x_k)Δ$

1.2 Математическое описание алгоритма

$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

$x_{k+1} = x_k - [f'(x_k)]^{-1}f(x_k)$

Пусть необходимо найти решение системы:

$\left\{\begin{matrix}f_1(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, x_2, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right.$

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы

$\left\{\begin{matrix}f_1(x_1, ..., x_n) = 0 \\ f_2(x_1,...x_n)=0, \\ ..., \\ f_n(x_1, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right.$

что позволяет свести исходную задачу СНУ к

многократному решению системы линейных уравнений.

Пусть известно приближение $(x_i)^{(k)}$ решения системы нелинейных уравнений $(x_i)^*$.Введем в рассмотрение поправку $\Delta x_i$ как разницу между решением и его приближением: $\Delta x_i = (x_i)^* -(x_i)^{(k)} \Rightarrow (x_i)^*=(x_i)^{(k)} + \Delta x_i, i=\overline{(1,n)}$

Подставим полученное выражение для $(x_i)^*$ в исходную систему.

$\left\{\begin{matrix} f_1((x_1)^{(k)} + \Delta x_1, (x_2)^{(k)}+ \Delta x_2, ..., (x_n)^{(k)} + \Delta x_n) = 0, \\ f_2((x_1)^{(k)} + \Delta x_1, (x_2)^{(k)} + \Delta x_2, ..., (x_n)^{(k)} + \Delta x_n) = 0, \\ ... \\ f_n((x_1)^{(k)} + \Delta x_1, (x_2)^{(k)} + \Delta x_2, ..., (x_n)^{(k)} + \Delta x_n) = 0, \end{matrix}\right.$

Неизвестными в этой системе нашейных уравнений являются поправки $\Delta x_i$. Для определения $\Delta x_i$ нужно решить эту систему. Но решить эту задачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно линеаризовать, и, решив её, получить приближённые значения поправок $\Delta x_i$ для нашего приближения, т.е. $\Delta (x_i)^{(k)}$. Эти поправки не позволяют сразу получить точное решение $(x_i)^*$, но дают возможность приблизиться к решению, - получить новое приближение решения $((x_i)^{(k+1)} = ((x_i)^{(k)} + ( \Delta x_i)^{(k)}, i = \overline{(1,n)}$

Для линеаризации системы следует разложить функцию $f_i$ в ряды Тейлора в окрестности $(x_i)^k$, ограничиваясь первыми дифференциалами. Полученная система имеет вид:

$\sum_{i=1}^\n\frac{ \partial f_i({x_1}^{(k)}, {x_2}^{(k)}, ..., {x_n}^{(k)})}{ \partial x_i} \Delta {x_i}^{(k)}= -f_j({x_1}^{(k)}, {x_2}^{(k)}, ..., {x_n}^{(k)}), j=\overline{(1,n)}$

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения $(x_i)^{(k)}$. Для решения системы линейных уравнений при $n=2,3$ можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n - метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности ε, расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

$\delta =\min_{ i=\overline{(1,n)} | \Delta {x_i}^{(k)} |}$

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

$\delta = \frac{1}{n}\sum_{i=1}\n |\Delta x_i| \lt \varepsilon$

В матричной форме систему можно записать как:

$W(\Delta X^k)*X^{(k)} = -F(X^k)$

где $W(x)$ - матрица Якоби(производных):

$W(x)=(\frac{\partial f_j}{\partial x_i})_{n,n}= \left\{\begin{matrix}(\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \frac{\partial f_1}{\partial x_2} ... \frac{\partial f_1}{\partial x_n}) \\ (... ... ... ...) \\( \frac{\partial f_n}{\partial x_1} \frac{\partial f_n}{\partial x_2} ... \frac{\partial f_n}{\partial x_n} ) \end{matrix}\right.$

$\Delta X^{(k)}= \left\{\begin{matrix} \Delta (x_1)^{(k)} \\ \Delta (x_2)^{(k)} \\ ... \\ \Delta (x_n)^{(k)} \end{matrix}\right.$

$F(x)$ - вектор-функция

$W(X^{(k)})$ - матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения $F(X^{(k)})$ - вектор-функция, вычисленная для очередного приближения

Выразим вектор поправок $X^{(k)}=-W^{-1}(X^{(k)})*F(X^{(k)})$ :

$W^{-1}$, где $W^{-1}$

Окончательная формула последовательных приближений метода Ньютона решения СНУ в матричной форме имеет вид:

$X^{(k+1)}=X^{(k)}=W^{-1}(X^{(k)})*F(X^{(k)})$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная нагрузка приходится на 1) Решение СЛАУ:$F(X^{(k)}) = \frac{\partial F(x^{(k)}}{\partial x} \Delta x^{(k)}$

2)Численное вычисление Якобиана(если производные не даны):$\frac{\partial F(x^{(k)}}{\partial x}$

1.4 Макроструктура алгоритма

Данный алгоритм использует два основных метода решения в каждой итерации, это нахождением матрицы Якоби и решение СЛАУ.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1)Задаётся размерность системы n, требуемая точность , начальное приближённое решение $X=(x_i)_n$

2)Вычисляются элементы матрицы Якоби $W=\left( {f_i\over x_i} \right)_{n,n}$

3)Вычисляется обратная матрица $W^{-1}$

4)Вычисляются вектор функция $F=(f_i)_n, f_i=f_i(x_1, x_2,..., x_n), i=1,...,n$

5)Вычисляются вектор поправок $\Delta X=W_{-1}*F$

6)Уточняется решение $X_{n+1}=X_n+\Delta X$

7)Оценивается достигнутая точность $\delta = \max_{i=1,n} \Delta x_i^k$

8)Проверяется условие завершения итерационного процесса δ<=ε