Участник:Арутюнов А.В.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n^3)$ - одна итерация
Объём входных данных	$n^2 + n$ функций от $n$ переменных, $n$ мерный вектор, $x^0$ - начальное приближение, ε - точность решения.
Объём выходных данных	$n$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы
Ширина ярусно-параллельной формы

Автор описания: Арутюнов А.В., Жилкин А.С.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Модификацией метода является метод хорд и касательных.

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если $x_n$ — некоторое приближение к корню $x_*$ уравнения $f(x)=0$, $f(x) \in C^1$, то следующее приближение определяется как корень касательной $f(x)$ к функции, проведенной в точке $x_n$.

Метод был предложен Исааком Ньютоном в 1669 году. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации.

1.2 Математическое описание алгоритма

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы

$\left\{\begin{matrix}f_1(x_1, ..., x_n) = 0 \\ f_2(x_1,...x_n)=0, \\ ..., \\ f_n(x_1, ..., x_n) = 0, \end{matrix}\right.$

Что позволяет свести исходную задачу СНУ(система нелинейных уравнений) к многократному решению системы линейных уравнений.

Пусть известно приближение $(x_i)^{(k)}$ решения системы нелинейных уравнений $(x_i)^*$.Введем в рассмотрение поправку $\Delta x_i$ как разницу между решением и его приближением: $\Delta x_i = (x_i)^* -(x_i)^{(k)} \Rightarrow (x_i)^*=(x_i)^{(k)} + \Delta x_i, i=\overline{(1,n)}$

Подставим полученное выражение для $(x_i)^*$ в исходную систему.

$\left\{\begin{matrix} f_1((x_1)^{(k)} + \Delta x_1, (x_2)^{(k)}+ \Delta x_2, ..., (x_n)^{(k)} + \Delta x_n) = 0, \\ f_2((x_1)^{(k)} + \Delta x_1, (x_2)^{(k)} + \Delta x_2, ..., (x_n)^{(k)} + \Delta x_n) = 0, \\ ... \\ f_n((x_1)^{(k)} + \Delta x_1, (x_2)^{(k)} + \Delta x_2, ..., (x_n)^{(k)} + \Delta x_n) = 0, \end{matrix}\right.$

Неизвестными в этой системе нашейных уравнений являются поправки $\Delta x_i$. Для определения $\Delta x_i$ нужно решить эту систему. Но решить эту задачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно линеаризовать и, решив её, получить приближённые значения поправок $\Delta x_i$ для нашего приближения, т.е. $\Delta (x_i)^{(k)}$. Эти поправки не позволяют сразу получить точное решение $(x_i)^*$, но дают возможность приблизиться к решению, - получить новое приближение решения $((x_i)^{(k+1)} = ((x_i)^{(k)} + ( \Delta x_i)^{(k)}, i = \overline{(1,n)}$

Для линеаризации системы следует разложить функцию $f_i$ в ряды Тейлора в окрестности $(x_i)^k$, ограничиваясь первыми дифференциалами. Полученная система имеет вид:

$\sum_{i=1}^n\frac{ \partial f_i({x_1}^{(k)}, {x_2}^{(k)}, ..., {x_n}^{(k)})}{ \partial x_i} \Delta {x_i}^{(k)}= -f_j({x_1}^{(k)}, {x_2}^{(k)}, ..., {x_n}^{(k)}), j=\overline{(1,n)}$

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения $(x_i)^{(k)}$. Для решения системы линейных уравнений при $n=2,3$ можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы $n$ - метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности $\varepsilon$, расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

$\delta =\min_{ i=\overline{(1,n)}}|\Delta {x_i}^{(k)}|$

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

$\delta = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |\Delta x_i|\lt \varepsilon$

В матричной форме систему можно записать как:

$W(\Delta X^k)*X^{(k)} = -F(X^k)$

где $W(x)$ - матрица Якоби(производных):

$W(x)=(\frac{\partial f_j}{\partial x_i})_{n,n}= \left\{\begin{matrix}(\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \frac{\partial f_1}{\partial x_2} ... \frac{\partial f_1}{\partial x_n}) \\ (... ... ... ...) \\( \frac{\partial f_n}{\partial x_1} \frac{\partial f_n}{\partial x_2} ... \frac{\partial f_n}{\partial x_n} ) \end{matrix}\right.$

$\Delta X^{(k)}= \left\{\begin{matrix} \Delta (x_1)^{(k)} \\ \Delta (x_2)^{(k)} \\ ... \\ \Delta (x_n)^{(k)} \end{matrix}\right.$

$F(x)$ - вектор-функция

$W(X^{(k)})$ - матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения $F(X^{(k)})$ - вектор-функция, вычисленная для очередного приближения

Выразим вектор поправок $X^{(k)}=-W^{-1}(X^{(k)})*F(X^{(k)})$ :

$W^{-1}$, где $W^{-1}$

Окончательная формула последовательных приближений метода Ньютона решения СНУ в матричной форме имеет вид:

$X^{(k+1)}=X^{(k)}=W^{-1}(X^{(k)})*F(X^{(k)})$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная нагрузка приходится на

1) Решение СЛАУ: $F(X^{(k)})=\frac{\partial F(x^{(k)})}{\partial x} \Delta x^{(k)}$

2)Численное вычисление Якобиана(если производные не даны): $\frac{\partial F(x^{(k)})}{\partial x}$

1.4 Макроструктура алгоритма

Данный алгоритм использует два основных метода решения в каждой итерации, это нахождением матрицы Якоби и решение СЛАУ.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1)Задаётся размерность системы $n$, требуемая точность, начальное приближённое решение $X=(x_i)_n$

2)Вычисляются элементы матрицы Якоби $W=\left( {\partial f_i\over \partial x_i} \right)_{n,n}$

3)Вычисляется обратная матрица $W^{-1}$

4)Вычисляются вектор функция $F=(f_i)_n, f_i=f_i(x_1, x_2,..., x_n), i=1,...,n$

5)Вычисляются вектор поправок $\Delta X=W_{-1}*F$

6)Уточняется решение $X_{n+1}=X_n+\Delta X$

7)Оценивается достигнутая точность $\delta = \max_{i=1,n} \Delta x_i^k$

8)Проверяется условие завершения итерационного процесса $\delta\lt =\varepsilon$

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Сперва стоит отметить, что итоговая сложность алгоритма зависит от того, насколько быстро он будет сходиться. Это в свою очередь зависит от заданного начального приближения $x^0$ и от условия остановки алгоритма $\varepsilon$. Можно однако вычислить сложность одного шага итерации алгоритма.

Предполагаем, что у нас нет значений производных заданных функций

$f_1(.), f_2(.), ..., f_n(.)$.

Тогда используя формулу центральной разности для производной :

$f_i'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/2h$,

мы находим приближённое значение производной в интересующей нас точке с точностью порядка $O(h^2)$ за 5 операций.

Учитывая, что в Якобиане содержится $n^2$ элементов - производные каждой функции по каждой переменной, - то для нахождения Якобиана нам суммарно требуется

$O(5n^2) = O(n^2)$

операций. Сложность вычислений обратной матрицы

$W^{-1}$

зависит от выбранного алгоритма решения полученной СЛАУ. Будем использовать метод Гаусса. В таком случае сложность составит

$O(n^3)$.

Таким образом сложность вычислительного ядра алгоритма составляет

$O(n^2)+O(n^3) = O(n^3)$

для одного шага алгоритма.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Не смотря на то, что метод Ньютона является методом последовательных итераций, его можно распараллелить. Ресурс для параллелизма заключается в решение СЛАУ и вычислении Якобианов. Рассмотрим решение параллельным методом Гаусса на $p$ процессорах.

Сложность вычисление элементов матрицы Якоби - производных $\frac{\partial F(x^{(k)})}{\partial x}$ в случае, если они не заданы будет - $O(n^2/p)$.

Решение СЛАУ $F(X^{(k)}) = \frac{\partial F(x^{(k)})}{\partial x} \Delta x^{(k)}$ одним из параллельных методов [2] имеет сложность $O(n^3/p)$.

Пусть алгоритм имеет $N$ итераций, тогда итоговая сложность будет: $O(N \cdot \frac{n^3}{p})$

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: $n^2 + n$ функций от $n$ переменных, $n$ мерный вектор, $x^0$ - начальное приближение, $\varepsilon$ - точность решения.

Выходные данные: $n$ вещественных чисел

1.10 Свойства алгоритма

Для данного метода трудно универсально оценить соотношение последовательной и параллельной сложностей алгоритма, поскольку это зависит непосредственно от вида задаваемых нелинейных функций, способа решения СЛАУ и выбора начального приближения.