Участник:Abdulpotiev/Алгоритм Ланцоша с выборочной ортогонализацией

Эта работа прошла предварительную проверку Дата последней правки страницы: 07.02.2017 Данная работа соответствует формальным критериям. Проверено ASA.

Автор: Абдулпотиев А.А.

Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с выборочной ортогонализацией
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(kn^2 + k^2n)[/math]
Объём входных данных	[math]{n (n + 1) \over 2} + n + 1[/math]
Объём выходных данных	[math]k + nk[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(kn + k^2)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша это итерационный метод нахождения небольшого количества собственных значений столь больших разреженных симметричных матриц, что к ним нельзя применить прямые методы. Иными словами алгоритм сильно оптимизирует использование памяти и вычислительной мощности, что является критически важным для больших вычислений.

Сам алгоритм объединяет метод Ланцоша для построения крыловского подпространства с процедурой Рэлея-Ритца интерпретации собственных значений некоторой вычисляемой матрицы как приближений к собственным значениям исходной матрицы.

Пусть [math]Q = [Q_k,Q_u][/math] - ортогональная матрица порядка [math]n[/math], причем [math]Q_k[/math] и [math]Q_u[/math] имеют соответственно размеры [math]n \times k[/math] и [math]n \times (n-k)[/math]. Столбцы матрицы [math]Q_k[/math] вычисляются методом Ланцоша..

Запишем следующие соотношения:

[math]T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = \left[ \begin{array}{cc} Q_k^T A Q_k & Q_k^T A Q_u\\ Q_u^T A Q_k & Q_u^T A Q_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} T_{k} & T_{ku}^T\\ T_{ku} & T_{u} \end{array} \right][/math]

Метод Рэлея-Ритца заключается в интерпретации собственных значений матрицы [math]T_k = Q_k^T A Q_k[/math] как приближенных к собственным значениям матрицы [math]A[/math]. Эти приближения называются числами Ритца. Если [math]A = V \Lambda V^T[/math] есть спектральное разложение матрицы [math]T_k[/math], то столбцы матрицы [math]Q_k V[/math] являются приближениями соответствующих собственных векторов и называются векторами Ритца.

Числа и векторы Ритца являются оптимальными приближениями к собственным значениям и собственным векторам матрицы [math]A[/math].

При применении метода Ланцоша в арифметике с плавающей точкой ортогональность в вычисленных векторах Ланцоша [math]q_k[/math] пропадает из-за ошибок округления. Потеря ортогональности не заставляет алгоритм вести себя совершенно не предсказуемым образом. В самом деле, мы увидим, что цена, которую мы платим за потерю, это приобретение повторных копий сошедшихся чисел Ритца. Для того чтобы поддержать взаимную ортогональность векторов Ланцоша, существуют две модификации алгоритма.

1. Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией. На каждой итерации запускается повторный процесс ортогонализации Грамма-Шмидта [math]z = z - \textstyle \sum_{i=1}^{j-1} (z^T q_i)q_i \displaystyle[/math]
2. Алгоритм Ланцоша с выборочной ортогонализацией. Согласно теореме Пейджа векторы [math]q_k[/math] теряют ортогональность весьма систематическим образом, а именно, приобретая большие компоненты в направлениях уже сошедшихся векторов Ритца (Именно это приводит к появлению повторных копий сошедшихся чисел Ритца). Поэтому можно выборочно ортогонализировать векторы [math]q_k[/math] вместо того, чтобы на каждом шаге ортогонализировать вектор ко всем ранее сошедшимся векторам, как это делается при полной ортогонализации. Таким образом достигается (почти) ортогональности векторов Ланцоша, затрачивая очень небольшая дополнительную работу.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть [math]A[/math] - заданная симметричная матрица, [math]b[/math] - вектор начального приближения метода Ланцоша. Тогда алгоритм Ланцоша вычисления собственных векторов и собственных значений матрицы [math]A[/math] с выборочной ортогонализацией имеет следующий вид:

 [math]1)[/math]: Считается норма вектора [math] b: \; \;  \|b\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} b_j^2},[/math]
[math]2)[/math] Находится первый вектор матрицы [math] Q: \; \; q_{1} = \frac{b}{\|b\|_2},[/math]
[math]3)[/math] Начинается цикл, повторяющийся [math] k [/math] раз по переменной [math] j: [/math]
   [math]3.1)[/math] Считается произведение матрицы на вектор: [math] z = Aq_j [/math]
   [math]3.2)[/math] Скалярно умножается [math]q_j^T[/math] и [math] z: \; \; \alpha_j = q_j^Tz[/math]
   [math]3.3)[/math] Вычисляется линейная комбинация векторов: [math]z=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1},  [/math]
   [math]3.4)[/math] [math]t[/math] Присваивается [math]j - 1.  [/math] В цикле по [math] i [/math] от первого до посчитанного [math] t[/math]-го собственного вектора проводится
   выборочная ортогонализация к сошедшимся векторам Ритца. То есть:
      [math]3.4.1)[/math] Считается норма матрицы [math]\|T_{t}\|_2, [/math] [math] \| T \|_2 =  \sup\limits_{\| x \|_2 = 1} \| T x \|_2 = \sup\limits_{(x, x) = 1} \sqrt{(Tx, Tx)}[/math], подчиненная векторной норме [math] \| x \|_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n |x_i|^2} [/math]. Т.е. 
      [math] \|    T_{t} \|_2 =  \max\limits_{i=1 \dots t} \theta_i[/math], где [math] \theta_i[/math] - собственные значения матрицы [math] T,[/math]
      [math]3.4.2)[/math] Берется [math]t[/math]-ю координата вектора [math] v_i[/math]  и проверяется, выполняется ли равенство:[math]\beta_{t}|v_i(t)| \leqslant \sqrt{\varepsilon}\|T_{t}\| \, \, ,[/math]
      Если выполняется, то
          [math]3.4.2.1)[/math] Вычисляется вектор [math] z[/math]: [math] z=z-(y_{i,t}^T z)y_{i,t}[/math]
          [math]3.4.2.2)[/math] Увеличивается [math]i [/math]. Производится возврат к пункту [math]3.4.2,[/math]
   [math]3.5)[/math] Ищется норма вектора [math] z: \; \; \beta_{j}=\|z\|_2, [/math]
   [math]3.6)[/math] Ищется вектор Ланцоша [math]q_{j+1}=z/\beta_{j}, [/math]
   [math]3.7)[/math] Вычисляется новое собственное значение [math] \theta_j [/math] и собственный вектор [math] v_j [/math] для полученной матрицы [math] T_j,[/math]
   [math]3.8)[/math] Увеличивается [math] j [/math], производится возврат к шагу [math]3.1.[/math]

Где [math]v_i[/math] - это столбцы ортогональной матрицы [math]V[/math] из спектрального разложения [math]T_k = V \Lambda V^T[/math], а [math]y_{k,i} = Q_k v_i[/math] - столбцы матрицы [math]Q_k V[/math] - векторы Ритца.

Матрица [math]T_j[/math]:

[math] T_j = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 \\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 \\ & \beta_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & \beta_{j-1} \\ & & & \beta_{j-1} & \alpha_j \end{pmatrix}\; [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

У описанного алгоритма два ядра, на которые приходится основное время работы алгоритма:

• Вычисление вектора [math]z = A q_j[/math]
• Выборочная переортогонализация [math]z = z - (y_{i,t} ^ T z) y_{i,t}[/math]

При больших [math]k[/math], сопоставимых с [math]n[/math] , к вычислительному ядру можно отнести вычисление собственных значений и собственных векторов трёхдиагональной матрицы. Однако на практике [math]k[/math] много меньше [math]n[/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

Макроструктура алгоритма Ланцоша с выборочной переортогонализацией представляется в виде совокупности метода Ланцоша с выборочной переортогонализацией построения крыловского подпространства и процедуры Рэлея-Ритца.

Каждая итерация первого этапа может быть разложена на следующие макроединицы:

1 Умножение матрицы на вектор, [math]z=Aq_j[/math].

2. Вычисление вектора [math]q_{j+1} [/math] с помощью линейной комбинации других векторов:

[math]\alpha_j=q_j^Tz, [/math]

[math]z=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1}, [/math]

[math]q_{j+1}=z/\|z\|_2[/math]

3. Ортогонализация вектора Ланцоша с помощью скалярного произведения:

[math]z = z-(y^T_{i,t},z)y_{i,t} [/math]

4. Нахождении собственных значений и собственных векторов матрицы и интерпретации их как приближенных значений собственных чисел и собственных векторов исходной матрицы, он может быть выполнен любым способом, например, разделяй и властвуй или же QR-итерацией.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

На вход алгоритму подаются исходная матрица [math]A[/math], вектор начального приближения [math]b[/math] и число [math]k[/math]. Далее последовательно выполняются итерационно для всех [math]j: 1 \le j \le k[/math] следующие шаги:

1. Умножается матрица на вектор для нахождения вектора [math]z[/math]
2. Вычисляется коэффициент [math]\alpha_j[/math] посредством скалярного перемножения векторов
3. Вычисляется новое значение вектора [math]z[/math]
4. Производятся оценка погрешностей [math]\beta_t \Vert v_i(t) \Vert[/math] и выборочная переортогонализация
5. Вычисление очередного значения [math]\beta_j[/math] - норма вектора [math]z[/math]
6. Вычисление и добавление к матрице [math]Q[/math] нового столбца
7. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы [math]T_j[/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

• Вычисление вектора [math]z[/math] - [math]n^2[/math] операций умножения и [math]n(n-1)[/math] операций сложения
• Вычисление скалярного произведения векторов - [math]n[/math] операций умножения и [math](n-1)[/math] сложений
• Вычисление вектора [math]z[/math] - [math]2n[/math] умножений и [math]2n[/math] сложений
• Оценка погрешностей - [math]kn[/math] операций умножения
• Выборочная переортогонализация - [math]O(2nj)[/math] умножений и [math]O(2j(n-1) + n)[/math] сложений
• Вычисление нормы вектора - [math]n[/math] операций умножения и [math](n-1)[/math] сложений
• Вычисление нового столбца матрицы [math]Q[/math] - [math]n[/math] операций умножения

Итого на каждой итерации:

• Умножений: [math]n^2 + n + 2n + kn + O(2nj) + n + n = n^2 + 5n + kn + O(2nj)[/math]
• Сложений: [math]n(n-1) + n-1 + 2n + O(2j(n-1) + n) + n-1 = n^2 + 3n + O(2j(n-1) + n) -2[/math]

Итого за все время выполнения алгоритма:

• Умножений: [math]kn^2 + 5kn + k^2n + O(k^2n + kn)[/math]
• Сложений: [math]kn^2 + 3kn + O((k^2+k)(n-1)+kn) = kn^2 + 3kn + O(k^2(n-1)+2kn-k)[/math]

Суммарная последовательная сложность алгоритма - [math]O(kn^2 + k^2n)[/math].

1.7 Информационный граф

рис. 1: Информационный граф

• Вершины 1 соответствуют операции  [math]z = Aq_j[/math].

• Вершины 2 соответствуют операции скалярного произведения [math]\alpha_j=q_j^Tz[/math] .

• Вершины 3 соответствуют операции [math]z-\sum\nolimits_{i=1}^{j-1}(z^Tq_i)q_i[/math].

• Вершины 4 соответствуют операции [math]z = z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1}[/math].

• Вершины 5 соответствуют операции [math]\beta_j=||z||_2[/math].

• Вершины 6 соответствуют операции [math]q_{j+1} = z/\beta_j[/math].

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Поскольку алгоритм является итерационным, то выполнять параллельные операции возможно только внутри каждой итерации алгоритма. Сами итерации выполняются в строгой последовательности и не могут быть параллелизованны:

• Вычисление вектора [math]z[/math] - умножение матрицы размера [math]n \times n[/math] на вектор длины [math]n[/math] - [math]n[/math] ярусов сложений, [math]n[/math] операций умножений в каждом
• Вычисление коэффициента [math]\alpha_j[/math] - скалярное произведение векторов - [math]n[/math] ярусов сложений, 1 операция умножения в каждом
• Вычисление нового значения вектора [math]z[/math]: 2 яруса умножений длины [math]n[/math] (умножение вектора на число), 2 яруса вычитаний длины [math]n[/math]
• Выборочная переортогонализация: последовательно для всех [math]i \le k[/math] выполняется [math]j[/math] ярусов сложений, [math]n[/math] операций умножений в каждом, [math]n[/math] ярусов сложений, [math]j[/math] операций умножений в каждом, один ярус вычитаний размера [math]n[/math]
• Вычисление [math]\beta_j[/math] - скалярное произведение векторов - [math]n[/math] ярусов сложений, 1 операция умножения в каждом
• Вычисление [math]q_j[/math] - деление вектора на число - один ярус делений размера [math]n[/math]

Сложность алгоритма по ширине ярусно параллельной формы - [math]O(n)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные

Вещественная матрица [math]A[/math] размера [math]n \times n[/math], вектор [math]b[/math] длины [math]n[/math], число [math]k[/math], но учитывая что матрица у нас симметричная количество входных данных можно уменьшить в два раза.

Объем входных данных: [math]{n (n + 1) \over 2} + n + 1[/math]

Выходные данные

Матрица собственных значений [math] \Lambda = diag(\theta_1 \dots \theta_k) [/math], матрица собственных векторов [math] V = [v_1 \dots v_k] [/math] размера [math] n \times k [/math]

Так, объем выходных данных: [math] k + kn [/math]

1.10 Свойства алгоритма

• Преимуществом алгоритма является то, что он начинает поиск собственных значений матрицы начиная с максимального в абсолютном смысле значения. Это выгодно отличает данный алгоритм с точки зрения поиска собственных значений матрицы, находящихся по краям её спектра.
• Вычислительная мощность алгоритма - отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных - примерно равно [math]2k[/math] при [math]k \lt \lt n[/math]
• Алгоритм устойчив, так как операция переортогонализации как раз направлена на исключение проблемы округления вычисляемых значений
• Алгоритм не является детерминированным, так как, во-первых, используется для разряженных матриц, и, во-вторых, является итерационным с выходом по точности - число операций заранее не определено

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Исследование масштабируемости алгоритма проводилось на суперкомпьютере IBM Blue Gene/P ВМК МГУ.

Для проведения расчетов и получения полноценной картины поведения алгоритма в зависимости от входных данных и числа процессоров, программа была запущена на следующих параметрах:

• в качестве размера входной матрицы подавались значения в диапазоне [2000:50000] c шагом 2000.
• Число процессоров варьировалось от 4, 8, 16, 32, 64, 128.

Сборка осуществлялась с параметрами:

• openmpi/1.5.5-icc

• intel/13.1.0

Ниже на рисунке изображен трехмерный график, показывающий зависимость времени выполнения программы от входных данных/

Используемая параллельная реализация алгоритма на языке C++

На данном графике отчетливо видно, что время выполнения алгоритма сильно уменьшается с увеличением количества процессов при расчете матрицы любой размерности. При этом наблюдается некоторое снижение производительности в случае наибольших размеров матриц. Данный факт является следствием большого количества данных, необходимого для обмена между процессами. Отсюда опытным путем можно установить, что наибольшая производительность алгоритма будет достигнута, если размерность матрицы не будет превышать 30000-35000.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Алгоритм Ланцоша реализован в различных пакетах, библиотеках и проектах

NAG Library http://www.nag.com/content/nag-library C, C++, Fortran, C#, MATLAB, R

ARPACK https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/arpack/arpack.html MATLAB

GrapLab https://turi.com/products/create/open_source.html C++

Gaussian Belief Propagation Matlab Package http://www.cs.cmu.edu/~bickson/gabp/ MATLAB

The IETL Project http://www.comp-phys.org/software/ietl/ C++

LANSO/PLANSO http://web.cs.ucdavis.edu/~bai/ET/lanczos_methods/overview_PLANSO.html Fortran

Julia Math https://github.com/JuliaMath/IterativeSolvers.jl Julia

3 Литература

• Дж. Деммель, Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. Пер. с англ. - М.: Мир, 2001.