Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса: различия между версиями
S s serov (обсуждение | вклад) |
S s serov (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, гр. 417, 2017-ый год | Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, гр. 417, 2017-ый год | ||
− | = | + | = Свойства и структура алгоритма = |
− | + | == Описание алгоритма == | |
− | + | \\ | |
+ | Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод [1]. Далее описывается DSn-метод решения стационарного изотропного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии. | ||
− | + | Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси $x$ (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям $y$ и $z$ плоских слоев некоторого вещества (например, урана) заданной толщины, прилегающих друг к другу. | |
− | |||
− | == | + | $$\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),$$ |
+ | где | ||
+ | $$Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).$$ | ||
− | = | + | Используемые обозначения: |
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item $\mu$ --- косинус угла $\theta$ между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси $x$; | ||
+ | \item $N(x,\mu)$ --- поток нейтронов, летящих в заданном направлении $\mu$ в точке $x$; | ||
+ | \item $SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'$ --- скалярный поток нейтронов в точке $x$; | ||
+ | \item $\sigma(x)$ --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке $x$, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов этой точкой среды; | ||
+ | \item $\sigma_S^0(x)$ --- макроскопическое сечение изотропного рассеяния нейтронов в точке $x$ среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды; | ||
+ | \item $q(x)$ --- независимый источник нейтронов в точке $x$. | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | |||
+ | Уравнение переноса является обыкновенным дифференциальным уравнением с интегральным членом в правой части. Целью решаемой задачи является нахождение потока нейтронов $N(x,\mu)$ или скалярного потока $SN(x)$, потому что из него путем подстановки в уравнение можно получить значение потока. | ||
+ | |||
+ | Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров, задающих его, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что в области $[x_{max}, +\infty)$ создан вакуум (то есть поток нейтронов равен нулю по всем направлениям): $N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 1]$; а на левой границе нейтроны отражаются, изменяя направление своего полета с $\mu$ на $-\mu$, то есть краевое условие имеет вид: $N(x_{min},\mu) = N(x_{min}, -\mu), \forall \mu \in [0, 1]$. | ||
+ | Также значения параметров $\sigma(x), \sigma_S^0(x)$ и $q(x)$ будем считать константными в каждом из слоев. | ||
+ | |||
+ | Для численного решения задачи вводится дискретная сетка по оси $x$ и по параметру $\mu$. | ||
+ | \\ |
Версия 04:36, 23 октября 2017
Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, гр. 417, 2017-ый год
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Описание алгоритма
\\ Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод [1]. Далее описывается DSn-метод решения стационарного изотропного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии.
Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси $x$ (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям $y$ и $z$ плоских слоев некоторого вещества (например, урана) заданной толщины, прилегающих друг к другу.
$$\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),$$
где
$$Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).$$
Используемые обозначения: \begin{itemize} \item $\mu$ --- косинус угла $\theta$ между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси $x$; \item $N(x,\mu)$ --- поток нейтронов, летящих в заданном направлении $\mu$ в точке $x$; \item $SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'$ --- скалярный поток нейтронов в точке $x$; \item $\sigma(x)$ --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке $x$, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов этой точкой среды; \item $\sigma_S^0(x)$ --- макроскопическое сечение изотропного рассеяния нейтронов в точке $x$ среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды; \item $q(x)$ --- независимый источник нейтронов в точке $x$. \end{itemize}
Уравнение переноса является обыкновенным дифференциальным уравнением с интегральным членом в правой части. Целью решаемой задачи является нахождение потока нейтронов $N(x,\mu)$ или скалярного потока $SN(x)$, потому что из него путем подстановки в уравнение можно получить значение потока.
Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров, задающих его, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что в области $[x_{max}, +\infty)$ создан вакуум (то есть поток нейтронов равен нулю по всем направлениям): $N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 1]$; а на левой границе нейтроны отражаются, изменяя направление своего полета с $\mu$ на $-\mu$, то есть краевое условие имеет вид: $N(x_{min},\mu) = N(x_{min}, -\mu), \forall \mu \in [0, 1]$. Также значения параметров $\sigma(x), \sigma_S^0(x)$ и $q(x)$ будем считать константными в каждом из слоев.
Для численного решения задачи вводится дискретная сетка по оси $x$ и по параметру $\mu$. \\