Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных	[math][/math]
Объём выходных данных	[math][/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: [math]k[/math] векторов [math]a_1,a_2,...,a_n[/math] длины [math]n[/math] ([math]\alpha_{ij}[/math], [math]j=1,2,...,n[/math], — координаты вектора [math]a_i[/math] ).

Вычисляемые данные:

[math]k[/math] ортогональных векторов [math]b_1,b_2,...,b_n[/math] длины [math]n[/math], причем [math]b_1=a_1[/math] либо

[math]k[/math] ортонормированных векторов [math]e_1,e_2,...,e_n[/math] длины [math]n[/math], причем [math]e_1=\frac{a_1}{|a_1|}[/math]

Формулы процесса ортогонализации:

[math] \begin{align} b_{1} & =a_{1}, \\ b_{2}& =a_{2}-proj_{b_1}a_{1}, \\ & ...\\ b_{i} & = a_{i}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{b_j}a_{j},\\ & ...\\ b_{n} & = a_{n}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{b_j}a_{j},\\ \end{align} [/math]

Здесь [math]proj_{b_j}a_{j}[/math], для [math]j=1,...,n-1[/math] проекция вектора math>a_{j}</math> на направление вектора math>b_{j}</math>.

Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

[math] \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} [/math]

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Процесс_Грама_―_Шмидта – Электрон. дан. – URL [1] (дата обращения 18.09.2016)