Участник:Anton goy/Самоорганизующиеся карты Кохонена

Автор: Гой Антон, 617 группа.

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Рисунок 1. Структура самоогранизующейся карты Кохонена с шестиугольной решеткой

Самоорганизующаяся карта Кохонена (англ. Self-Organizing Map или сокращено SOM) - это разновидность нейронных сетей, относящаяся к алгоритмам обучения без учителя. Основная цель - найти скрытые закономерности в данных по средством снижения размерности исходного пространства. Важным свойством карт Кохонена является то, что они строят отображение в пространство низкой размерности (обычно двумерное) таким образом, что топология исходного пространства сохраняется. Результат данного отображения - правильная решетка из обученных нейронов - называется "картой" исходного пространства. Алгоритм был разработан известным финским учёным, заслуженным академиком Финской Академии Наук Теуво Кохоненом в 1984(2) году. Карты Кохенана находят успешное применение в задачах кластеризации и визуализации, а также для снижения размерности и детектирования аномалий в данных.

Карты Кохонена и по своей архитектуре, и по методу обучения отличаются от обычных нейронных сетей прямого распространения. C точки зрения метода обучения карты Кохонена не используют градиентные методы для минимизации ошибки (как это делается в сетях прямого распространения), поскольку являются алгоритмом обучения без учителя и никак не могут учитывать информацию и метках классов. Поэтому нейронная сеть обучается через соревнование между нейронами: на каждом шаге алгоритма для случайного объекта из обучающей выборки выбирается нейрон-победитель (best matching unit, BMU), который в определенном смысле похож на данный объект. А архитектура карты Кохонена представляет два полносвязных слоя из нейронов: первый слой (будем называть его [math]l_1[/math]) состоит из входных нейронов (их количество равно размерности исходного пространства), второй слой ([math]l_2[/math]) представляет собой регулярную (прямоугольную или шестиугольную) решётку из нейронов. Размеры сетки выбираются вручную до начала запуска алгоритма. Таким образом каждый нейрон слоя [math]l_2[/math] описывается двумя векторами: первый вектор - вектор весов [math]\mathbf{w}[/math], размерность которого совпадает с размерностью исходного пространства, а второй вектор [math]\mathbf{r}[/math] определяет положение нейрона в регулярной сетке слоя [math]l_2[/math]. Процесс обучения состоит в настройке векторов [math]\mathbf{w}[/math], а положение нейрона в решететке - вектор [math]\mathbf{r}[/math] остается неизменым на протяжении всего обучения.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть [math]\mathcal{L} = \left\{ \mathbf{x}_i \right\}_{i=1}^{N}[/math] - некоторое подмножество точек пространства [math]\mathbb{R}^D[/math], [math]\mathbf{x}_i = \left( x_{i1}, \dots, x_{iD} \right) \in \mathbb{R}^D[/math]. В машинном обучении множество [math]\mathcal{L}[/math] называют обучающей выборкой. Кроме того, задана структура слоя [math]l_2[/math]: выбрана прямоугольная или шестиугольная связность между не1ронами, задано общее количество нейронов (обозанчим через [math]L = X \times Y[/math], где [math]X[/math] и [math]Y[/math] обозначают количество нейронов в ), а также для каждого [math]i[/math]-го нейрона определено его положение в решетке - вектор [math]\mathbf{r}_i[/math]й