Участник:Anlesnichiy/Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка: различия между версиями
(Создал страницу. Пробное добавление материала) |
|||
Строка 28: | Строка 28: | ||
x_i = a + i*h,\ i = 1,\dots, n,\ h = \frac{b-a}{n} | x_i = a + i*h,\ i = 1,\dots, n,\ h = \frac{b-a}{n} | ||
</math> | </math> | ||
− | + | ||
+ | Введём обозначения <math>y(x_i) = y_i</math>. Получим вычислительную формулу: | ||
+ | |||
:<math> | :<math> | ||
\begin{cases} | \begin{cases} |
Версия 18:12, 28 сентября 2016
Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка | |
Последовательный алгоритм | |
Последовательная сложность | ? |
Объём входных данных | ? |
Объём выходных данных | ? |
Параллельный алгоритм | |
Высота ярусно-параллельной формы | ? |
Ширина ярусно-параллельной формы | ? |
Основные авторы описания: А.А. Лесничий (разделы 1.1, 1.2), Д.А. Алимов
Содержание
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка — наиболее распространенный метод из семейства методов Метод Рунге-Кутты численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.
1.2 Математическое описание алгоритма
1.2.1 Метод Рунге-Кутты для задачи Коши для ДУ первого порядка
Рассмотрим задачу Коши
- [math] y' = f(x,y),\ a \leq x \leq b;\ y(a) = y^0 [/math]
Зададим равномерную сетку
- [math] x_i = a + i*h,\ i = 1,\dots, n,\ h = \frac{b-a}{n} [/math]
Введём обозначения [math]y(x_i) = y_i[/math]. Получим вычислительную формулу:
- [math] \begin{cases} k_1 = h*f(x_i,y_i)\\ k_2 = h*f(x_i + h/2,y_i + 1/2 k_1)\\ k_3 = h*f(x_i + h/2,y_i + 1/2 k_2)\\ k_4 = h*f(x_i + h,y_i + k_3)\\ y_i+1 = y_i + 1/6 \lbrace k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \rbrace \\ \end{cases} [/math]
1.2.2 Метод Рунге-Кутты для задачи Коши для системы ДУ первого порядка
Численное решение задачи Коши для систем ОДУ 1-го порядка методами Рунге-Кутты ищется по тем же формулам, что и для ОДУ первого порядка. Например, решение методом Рунге-Кутты 4 го порядка можно найти, если положить:
- [math] \begin{align} y_i \rightarrow \bar y_i\\ f(x_i,y_i) \rightarrow \bar f(x_i,\bar y_i)\\ k_l \rightarrow \bar k_l,\ l = 1, \dots, 4\\ \bar k_l = \begin{pmatrix} k^i_{l,1}\\ \vdots\\ k^i_{l,m}\\ \end{pmatrix} \end{align} [/math]
где m -- размерность системы. В результате получим
- [math] \begin{cases} \bar k_1 = h*\bar f(x_i,\bar y_i)\\ \bar k_2 = h*\bar f(x_i + h/2,\bar y_i + 1/2 \bar k_1)\\ \bar k_3 = h*\bar f(x_i + h/2,\bar y_i + 1/2 \bar k_2)\\ \bar k_4 = h*\bar f(x_i + h,\bar y_i + \bar k_3)\\ \bar y_i+1 = \bar y_i + 1/6 \lbrace \bar k_1 + 2\bar k_2 + 2\bar k_3 + \bar k_4 \rbrace \\ \end{cases} [/math]
2 Литература
<references \>