Участник:Бротиковская Данута/Алгоритм k-means

Алгоритм k средних (k means)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных	[math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]
Объём выходных данных	[math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n^2)[/math]

Авторы страницы Данута Бротиковская и Денис Зобнин

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм k средних (k means) -- наиболее популярный метод кластеризации. Был изобретен в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом и почти одновременно Стюартом Ллойдом. Особую популярность приобрел после публикации работы МакКуина в 1967. Цель алгоритма заключается в разделении N наблюдений на K кластеров таким образом, чтобы каждое наблюдение придележало ровно одному кластеру, расположенному на наименьшем расстоянии от наблюдения.

1.2 Математическое описание алгоритма

Дан набор из [math]n[/math] d-мерных векторов [math]X[/math] = [math]\{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n\}[/math]. Алгоритм k средних разбивает набор [math]X[/math] на [math]k, k\lt =n[/math] наборов [math]S=\{S_1, S_2, ..., S_k\}, S_i \cap S_j= \varnothing, i \ne j, [/math] таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра. Другими словами:

[math]\arg\min_{S} \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{x \in S_i} \lVert \mathbf{x}- \mathbf{\mu}_i \rVert^2[/math],

где [math]\mathbf{\mu}_i[/math]- центры кластеров, [math]i=\overline{1,k}[/math]

Шаги алгоритма:

1. Начальный шаг. Инициализация кластеров

   Выбирается произвольное множество точек [math]\mu_i, i=\overline{1,k}[/math], рассматриваемых как начальные центры кластеров

2. Распределение векторов по кластерам

   [math]\forall \mathbf{x}_i \in X, i=\overline{1,n}: \mathbf{x}_i \in S_j \iff j=\arg\min_{k}||\mathbf{x}_i-\mathbf{\mu}_k||^2[/math]

3. Пересчет центров кластеров

   [math] \forall i=\overline{1,k}: \widetilde{\mu_i} = \cfrac{1}{||S_i||}\sum_{x\in S_i}x[/math]

4. Проверка условия останова:

   [math]if \exist i\in \overline{i=1,k}: \mu_i \ne \widetilde{\mu_i} =\gt goto 2; else FINISH[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма являются шаги 2 и 3 приведенного выше алгоритма: распределение векторов по кластерам и пересчет центров кластеров.

Распределение векторов по кластерам предполагает вычисление расстояний между каждым вектором [math]x_i \in X, i= \overline{1,N},[/math] и центрами кластера [math]\mu_j, j= \overline{1,k}[/math]. Таким образом, данный шаг предполагает kN вычислений расстояний между d-мерными векторами.

Пересчет центров кластеров предполагает k вычислений центров масс [math]\mu_i[/math] множеств [math]S_i, i=\overline{1, k}[/math], представленных выражением в шаге 3 представленного выше алгоритма.