|
|
| Строка 18: |
Строка 18: |
| | | | |
| | == Математическое описание алгоритма == | | == Математическое описание алгоритма == |
| − | Исходные данные: <math>k</math> векторов <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}</math> длины <math>n</math> <math>\left(\alpha_{ij}\right.</math>, <math>j=1,2,...,n</math>, — координаты вектора <math>\left.\mathbf{a_i}\right)</math> .
| |
| − |
| |
| − | Вычисляемые данные:
| |
| − |
| |
| − | <math>k</math> ортогональных векторов <math>\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},...,\mathbf{b_n}</math> длины <math>n</math>, причем <math>\mathbf{b_1}=\mathbf{a_1}</math> либо
| |
| − |
| |
| − | <math>k</math> ортонормированных векторов <math>\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},...,\mathbf{e_n}</math> длины <math>n</math>, причем <math>\mathbf{e_1}=\frac{\mathbf{a_1}}{|\mathbf{a_1}|}</math>
| |
| − |
| |
| − | Формулы процесса ортогонализации:
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{align}
| |
| − | \mathbf{b_{1}} & =\mathbf{a_{1}}, \\
| |
| − | \mathbf{b_{2}}& =\mathbf{a_{2}}-proj_{\mathbf{b_1}}\mathbf{a_{1}}, \\
| |
| − | & ...\\
| |
| − | \mathbf{b_{{i} }} & = \mathbf{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}},\\
| |
| − | & ...\\
| |
| − | \mathbf{b_{n}} & =\mathbf{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{n}},\\
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Здесь <math>proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}}</math>, для <math>j=1,...,i-1</math> — проекция вектора <math>\mathbf{a_{i}}</math> на направление вектора <math>\mathbf{b_{j}}</math>.
| |
| − | Это число, равное по величине проекции вектора <math>\mathbf{a_{j}}</math> на ось, проходящую через вектор <math>\mathbf{b_j}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Формула для ее вычисления, полученная из определения скалярного произведения:
| |
| − | <math>proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}}=\dfrac{ai,bj}{\mathbf{\left \|b_j\right \|}}</math>, для <math>j=1,...,i-1</math>
| |
| − |
| |
| − | В этом случае знаменатель в формуле для вычисления проекции <math>|\mathbf{e_i}|=1</math> для <math>i=1,...,n-1</math>, что существенно упрощает вычисления алгоритма.
| |
| − |
| |
| − | Произведение длин <math>\mathbf{|b_1|},\mathbf{|b_2|},\ldots ,\mathbf{|b_k|}</math> равно объему параллелепипеда, построенного на векторах системы <math>\left\{\mathbf{a_i}\right\}</math>, как на ребрах
| |
| − |
| |
| − | Явное выражение векторов <math>\mathbf{b_i}</math> для <math>i=1,...,k</math> через <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_k}</math> дает формула
| |
| − |
| |
| − | <math> \mathbf{b_i}=
| |
| − | \begin{vmatrix}
| |
| − | (a_1,a_1) & \cdots & (a_1,a_n-1) &a_1 \\
| |
| − | \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
| |
| − | (a_{i},a_1) & \cdots & (a_i,a_n-1) &a_i \\
| |
| − | \cdots & \cdots & \cdots \\
| |
| − | (a_{k},a_1) & \cdots & (a_k,a_n-1) &a_k
| |
| − | \end{vmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − | (В правой части этого равенства определитель следует формально разложить по последнему столбцу).
| |
| − |
| |
| − | Иногда полученные векторы нормируются сразу после их нахождения и находится система ортонормированных векторов <math>\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},...,\mathbf{e_n}</math>. В этом случае знаменатель в формуле для вычисления проекции <math>|\mathbf{e_i}|=1</math> для <math>i=1,...,n-1</math>, что существенно упрощает вычисления алгоритма.
| |
| | | | |
| | == Вычислительное ядро алгоритма == | | == Вычислительное ядро алгоритма == |
