Участник:Борис/Алгоритм Рунге-Кутты

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты (распространено неправильное название Ме́тоды Ру́нге — Ку́тта или же Ме́тоды Ру́нге — Кутта́) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Метод Рунге - Кутты применяется при решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

[math] \begin{cases} \textbf{y}' = \textbf{f}(x, \textbf{y}),\\ \textbf{y}(x_0) = \textbf{y}_0. \end{cases} [/math]

При этом [math]\textbf{y}, \textbf{f}, x[/math] отвечают следующим свойствам: [math] \textbf{y}, \textbf{f} \in \mathbb{R}^n, x \in \mathbb{R} [/math].

[math]\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i[/math]

[math] \begin{array}{ll} \textbf{k}_1 =& \textbf{f}(x_n, \textbf{y}_n),\\ \textbf{k}_2 =& \textbf{f}(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1),\\ \cdots&\\ \textbf{k}_s =& \textbf{f}(x_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1}) \end{array} [/math]

1.2 Математическое описание алгоритма

Далее приняты следующие обозначения [math] \bold y, \bold f, \bold k_i \in \mathbb{R}^n[/math], а [math]x, h \in \mathbb{R}^1 [/math].

[math]\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6}(\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4)[/math]

[math] \textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right),[/math]

[math]\textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right),[/math]

[math]\textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right),[/math]

[math]\textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h\ \textbf{k}_3 \right).[/math]