Уровень алгоритма

Участник:Артем Таран/Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 29: Строка 29:
  
 
=== Математическое описание алгоритма ===
 
=== Математическое описание алгоритма ===
Исходные данные: верхнетреугольная  <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>).
+
Исходные данные: треугольная матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>).
 +
 
 +
Вычисляемые данные: n-мерный вектор <math>v</math> (элементы <math>v_{i}</math>).
  
Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица <math>L</math> (элементы <math>l_{ij}</math>).
 
  
 
Формулы метода:
 
Формулы метода:

Версия 16:29, 14 октября 2016


Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O(n^2+nm+m^2log(m))[/math]
Объём входных данных [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]
Объём выходных данных [math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math][/math]


Статью подготовили: Артём Таран Иванович, Шимчик Никита Владимирович.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация — многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы (кластеры) с минимизацией межкластерного сходства и максимизацией внутрикластерного сходства.

Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON достаточно новый алгоритм, который измеряет сходство двух кластеров на основе динамической модели. В процессе кластеризации два кластера объединяются, только если показатели взаимосвязанности и близости между двумя кластерами являются высокими по отношению к показателям внутренней взаимосвязанности кластеров и близости элементов внутри этих кластеров. Процесс слияния с использованием динамической модели, использующийся в данном алгоритме облегчает открытие природных и однородных кластеров. Методология динамического моделирования кластеров, использующаяся в CHAMELEON, применима ко всем типам данных, для которых может быть построена матрица подобия.

Алгоритм кластеризации CHAMELEON включает в себя три этапа:

1) Построение графа, путём добавления рёбер по принципу k ближайших соседей.

2) Выделение множества сравнительно малых связных подграфов.

3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: треугольная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Вычисляемые данные: n-мерный вектор [math]v[/math] (элементы [math]v_{i}[/math]).


Формулы метода:

[math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление [math]\frac{1}{l_{ii}}[/math] и затем умножение на него всех (видоизменённых) [math]a_{ji}[/math] . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1) Построение графа на основе метода k ближайших соседей в худшем случае требует [math]O(n^2)[/math] операций;

2) Для выделения множества сравнительно малых связных подграфов требуется [math]nm[/math] операций;

3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе, требует [math]m^2log(m)[/math] операций.

Итого, получаем последовательную сложность [math]O(n^2+nm+m^2log(m))[/math].

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

  • Входные данные: треугольная матрица [math]A[/math] размерности [math]n*n[/math] (где n — количество объектов), в которой элементу [math]a_{ij}[/math] соответствует расстояние между i-м и j-м объектами.
  • Объём входных данных: [math]n[/math]
  • Выходные данные: n-мерный вектор [math]v[/math], в котором элементу [math]v_{i}[/math] соответствует номер кластера, присвоенный i-му объекту
  • Объём выходных данных: [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

3 Литература

Данный алгоритм выполняется в два этапа.

На первом этапе CHAMELEON использует алгоритм разделения графа для получения набора относительно малых кластеров. На втором этапе, для объединения кластеров, полученных на первом этапе, в настоящие кластеры, используется иерархическая агломеративная кластеризация. Таким образом, алгоритм, фактически, является гибридным, построенным комбинацией графо-ориентированных и классических иерархических методов. Рассмотрим эти этапы подробнее.

На первом этапе, согласно графо-ориентированному подходу, происходит построение графа на матрице сходства объектов по принципу k ближайших соседей. Две вершины такого графа соединяет ребро, если объект, соответствующий любой из этих вершин попадает в число k наиболее близких объектов для объекта, соответствующего другой вершине из данной пары.

На рисунке изображены: 1) объекты в пространстве, 2) граф по принципу 1-го ближайшего соседа, 3) граф по принципу 2-го ближайшего соседа, 4)граф по принципу 3-х ближайших соседей

Такое представление имеет целый ряд преимуществ.

Во-первых, можно сразу убрать ребра в графе с достаточно малым весом (значением сходства).

Во-вторых, возможно динамически определить для различных участков графа количество k ближайших соседей для вершин, на основе плотности данных отдельно взятого участка, которую, в свою очередь, можно определить на основе весов ребер.

В-третьих, операции на графах (например, разделение графа), имеющих такое представление, выполняются гораздо быстрее, чем на полных графах.

Обычно, k берется в пределах от 5 до 20 в зависимости от количества анализируемых объектов, и, как свидетельствуют авторы, выбор k почти не оказывает влияния на результаты кластеризации.

Далее, алгоритм разделяет полученный граф на множество сравнительно малых подграфов. Разделение происходит последовательно. На каждом шаге выбирается под-граф, содержащий наибольшее число вершин. Этот граф разделяется на два подграфа, так, что разделитель ребер графа минимален и каждый из получаемых подграфов содержит не менее 25 % вершин исходного графа. Процесс разделения останавливается, когда наибольший под-граф содержит меньше некоторого заданного числа вершин. Обычно величина этого параметра задается равной значению от 1 до 5 % от числа объектов. Полученное множество связных графов считается множеством начальных кластеров, на котором требуется провести последовательное иерархическое объединение.

На втором этапе, алгоритм последовательно объединяет кластеры, используя значение их относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. Только если оба эти значения достаточно высоки у двух кластеров, они объединяются.

Относительная взаимная связность пары кластеров определяется абсолютной взаимной связностью кластеров, нормализованной с учетом внутренней связности (п. 0) каждого кластера (подграфа). Нормализация используется для того, чтобы исключить тенденцию к преимущественному объединению крупных кластеров, у которых, определенно, значение взаимной связности будет больше, вследствие их размера.

Абсолютная взаимная связность между парой кластеров Ci и Сj определяется как сумма весов ребер, соединяющих вершины, принадлежащие Ci с вершинами из Сj. Эти ребра, фактически, входят в разделитель ребер графа, состоящего из кластеров Ci и Сj, и разбивающим его на подграфы Ci и Сj. Обозначается эта величина как . Внутреннюю связность кластера Ci можно вычислить как сумму ребер, входящих в разделитель ребер, разбивающий Ci на два совершенно равных подграфа.

Относительная взаимная связность пары кластеров Ci и Сj определяется формулой:


Учитывая значения относительной взаимной связности, можно добиться получения кластеров разного размера, формы и плотности, то есть общего внутреннего сходства.

Относительное взаимное сходство пары кластеров определяется как абсолютное сходство между этой парой кластеров, нормализованное с учетом их внутреннего сходства.

Абсолютное взаимное сходство между парой кластеров Ci и Сj подсчитывается как среднее сходство между соединенными вершинами, принадлежащими Ci и Сj соответственно. Эти соединения обусловлены предыдущим (на первом этапе) разбиением общего графа, полученного на матрице сходства.

Итак, относительное взаимное сходство между парой кластеров Ci и Сj равно:


где и – средние веса ребер (значения сходства), принадлежащих разделителю ребер кластеров Ci и Сj соответственно, и – средний вес ребер, соединяющих вершины Ci с вершинами Сj, причем ребра принадлежат разделителю ребер , определенному ранее. Можно также подсчитать внутреннее сходство как среднее значение весов всех связей в кластере, однако использования разделителя ребер по мнению авторов метода предпочтительнее. Этот факт они связывают с тем, что связи между объектами, помещенными в один кластер на ранних этапах объединения, сильнее, чем на поздних.

Далее, алгоритм применяет агломеративную иерархическую кластеризацию с использованием вышеозначенных показателей. Причем существует две стратегии их учета. Первая подразумевает наличие некоторых пороговых значений. T­RI и T­RC. В соответствии с этой стратегией, алгоритм для каждого кластера Ci проверяет, отвечают ли смежные (наиболее близкие) ему кластеры условиям:


Если более одного смежного кластера отвечает этим условиям, то алгоритм выбирает для объединения наиболее связный кластер (граф), то есть такой кластер Сj, с которым у кластера Ci получается наибольшая абсолютная взаимная связность. По завершению прохода по всем кластерам, созданные таким образом пары объединяются. Параметры T­RI и T­RC могут использоваться для изменения характеристик получаемых кластеров.

Таким образом, основное отличие данного подхода от классических агломеративных иерархических методов в том, что, во-первых, на каждом шаге могут быть объединены несколько кластеров, а, во-вторых, на каком-то этапе ни одна пара кластеров не будет удовлетворять вышеуказанным условиям и такое разбиение будет считаться оптимальным, то есть в конце может не получиться один всеохватывающий кластер. Если данное разбиение не удовлетворяет выбранным критериям, то пороговые значения можно уменьшить.

Вторая стратегия заключается в использовании специальной функции, объединяющей понятия относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. На каждом шаге выбираются те кластеры для объединения, которые максимизируют эту функцию:


где a выбирается пользователем. Если a > 1, то алгоритм придает большее значение относительному взаимному сходству, а если a < 1, то большее значение имеет относительная взаимная связность. Разумеется, данный подход позволяет получить полную дендрограмму кластерного анализа.

Общая временная сложность этого алгоритма выражается как , где n – количество анализируемых документов, m­ – количество получившихся после первого этапа малых кластеров.