Участник:Артем Таран/Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON

Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^2+nm+m^2log(m))[/math]
Объём входных данных	[math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

Статью подготовили: Артём Таран Иванович, Шимчик Никита Владимирович.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация — многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы (кластеры) с минимизацией межкластерного сходства и максимизацией внутрикластерного сходства.

Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON достаточно новый алгоритм, который измеряет сходство двух кластеров на основе динамической модели. В процессе кластеризации два кластера объединяются, только если показатели взаимосвязанности и близости между двумя кластерами являются высокими по отношению к показателям внутренней взаимосвязанности кластеров и близости элементов внутри этих кластеров. Процесс слияния с использованием динамической модели, использующийся в данном алгоритме облегчает открытие природных и однородных кластеров. Методология динамического моделирования кластеров, использующаяся в CHAMELEON, применима ко всем типам данных, для которых может быть построена матрица подобия.

Алгоритм кластеризации CHAMELEON включает в себя три этапа:

1) Построение графа, путём добавления рёбер по принципу k ближайших соседей.

2) Выделение множества сравнительно малых связных подграфов.

3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: треугольная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Вычисляемые данные: n-мерный вектор [math]v[/math] (элементы [math]v_{i}[/math]).

Формулы метода:

[math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление [math]\frac{1}{l_{ii}}[/math] и затем умножение на него всех (видоизменённых) [math]a_{ji}[/math] . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1) Построение графа на основе метода k ближайших соседей в худшем случае требует [math]O(n^2)[/math] операций;

2) Для выделения множества сравнительно малых связных подграфов требуется [math]nm[/math] операций;

3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе, требует [math]m^2log(m)[/math] операций.

Итого, получаем последовательную сложность [math]O(n^2+nm+m^2log(m))[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

• Входные данные: треугольная матрица [math]A[/math] размерности [math]n*n[/math] (где n — количество объектов), в которой элементу [math]a_{ij}[/math] соответствует расстояние между i-м и j-м объектами.

• Объём входных данных: [math]n[/math]

• Выходные данные: n-мерный вектор [math]v[/math], в котором элементу [math]v_{i}[/math] соответствует номер кластера, присвоенный i-му объекту

• Объём выходных данных: [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]

3 Литература

Данный алгоритм выполняется в два этапа.

На первом этапе CHAMELEON использует алгоритм разделения графа для получения набора относительно малых кластеров. На втором этапе, для объединения кластеров, полученных на первом этапе, в настоящие кластеры, используется иерархическая агломеративная кластеризация. Таким образом, алгоритм, фактически, является гибридным, построенным комбинацией графо-ориентированных и классических иерархических методов. Рассмотрим эти этапы подробнее.

На первом этапе, согласно графо-ориентированному подходу, происходит построение графа на матрице сходства объектов по принципу k ближайших соседей. Две вершины такого графа соединяет ребро, если объект, соответствующий любой из этих вершин попадает в число k наиболее близких объектов для объекта, соответствующего другой вершине из данной пары.

На рисунке изображены: 1) объекты в пространстве, 2) граф по принципу 1-го ближайшего соседа, 3) граф по принципу 2-го ближайшего соседа, 4)граф по принципу 3-х ближайших соседей

Такое представление имеет целый ряд преимуществ.

Во-первых, можно сразу убрать ребра в графе с достаточно малым весом (значением сходства).

Во-вторых, возможно динамически определить для различных участков графа количество k ближайших соседей для вершин, на основе плотности данных отдельно взятого участка, которую, в свою очередь, можно определить на основе весов ребер.

В-третьих, операции на графах (например, разделение графа), имеющих такое представление, выполняются гораздо быстрее, чем на полных графах.

Обычно, k берется в пределах от 5 до 20 в зависимости от количества анализируемых объектов, и, как свидетельствуют авторы, выбор k почти не оказывает влияния на результаты кластеризации.

Далее, алгоритм разделяет полученный граф на множество сравнительно малых подграфов. Разделение происходит последовательно. На каждом шаге выбирается под-граф, содержащий наибольшее число вершин. Этот граф разделяется на два подграфа, так, что разделитель ребер графа минимален и каждый из получаемых подграфов содержит не менее 25 % вершин исходного графа. Процесс разделения останавливается, когда наибольший под-граф содержит меньше некоторого заданного числа вершин. Обычно величина этого параметра задается равной значению от 1 до 5 % от числа объектов. Полученное множество связных графов считается множеством начальных кластеров, на котором требуется провести последовательное иерархическое объединение.

На втором этапе, алгоритм последовательно объединяет кластеры, используя значение их относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. Только если оба эти значения достаточно высоки у двух кластеров, они объединяются.

Относительная взаимная связность пары кластеров определяется абсолютной взаимной связностью кластеров, нормализованной с учетом внутренней связности (п. 0) каждого кластера (подграфа). Нормализация используется для того, чтобы исключить тенденцию к преимущественному объединению крупных кластеров, у которых, определенно, значение взаимной связности будет больше, вследствие их размера.

Абсолютная взаимная связность между парой кластеров Ci и Сj определяется как сумма весов ребер, соединяющих вершины, принадлежащие Ci с вершинами из Сj. Эти ребра, фактически, входят в разделитель ребер графа, состоящего из кластеров Ci и Сj, и разбивающим его на подграфы Ci и Сj. Обозначается эта величина как . Внутреннюю связность кластера Ci можно вычислить как сумму ребер, входящих в разделитель ребер, разбивающий Ci на два совершенно равных подграфа.

Относительная взаимная связность пары кластеров Ci и Сj определяется формулой:

Учитывая значения относительной взаимной связности, можно добиться получения кластеров разного размера, формы и плотности, то есть общего внутреннего сходства.

Относительное взаимное сходство пары кластеров определяется как абсолютное сходство между этой парой кластеров, нормализованное с учетом их внутреннего сходства.

Абсолютное взаимное сходство между парой кластеров Ci и Сj подсчитывается как среднее сходство между соединенными вершинами, принадлежащими Ci и Сj соответственно. Эти соединения обусловлены предыдущим (на первом этапе) разбиением общего графа, полученного на матрице сходства.

Итак, относительное взаимное сходство между парой кластеров Ci и Сj равно:

где и – средние веса ребер (значения сходства), принадлежащих разделителю ребер кластеров Ci и Сj соответственно, и – средний вес ребер, соединяющих вершины Ci с вершинами Сj, причем ребра принадлежат разделителю ребер , определенному ранее. Можно также подсчитать внутреннее сходство как среднее значение весов всех связей в кластере, однако использования разделителя ребер по мнению авторов метода предпочтительнее. Этот факт они связывают с тем, что связи между объектами, помещенными в один кластер на ранних этапах объединения, сильнее, чем на поздних.

Далее, алгоритм применяет агломеративную иерархическую кластеризацию с использованием вышеозначенных показателей. Причем существует две стратегии их учета. Первая подразумевает наличие некоторых пороговых значений. T­RI и T­RC. В соответствии с этой стратегией, алгоритм для каждого кластера Ci проверяет, отвечают ли смежные (наиболее близкие) ему кластеры условиям:

Если более одного смежного кластера отвечает этим условиям, то алгоритм выбирает для объединения наиболее связный кластер (граф), то есть такой кластер Сj, с которым у кластера Ci получается наибольшая абсолютная взаимная связность. По завершению прохода по всем кластерам, созданные таким образом пары объединяются. Параметры T­RI и T­RC могут использоваться для изменения характеристик получаемых кластеров.

Таким образом, основное отличие данного подхода от классических агломеративных иерархических методов в том, что, во-первых, на каждом шаге могут быть объединены несколько кластеров, а, во-вторых, на каком-то этапе ни одна пара кластеров не будет удовлетворять вышеуказанным условиям и такое разбиение будет считаться оптимальным, то есть в конце может не получиться один всеохватывающий кластер. Если данное разбиение не удовлетворяет выбранным критериям, то пороговые значения можно уменьшить.

Вторая стратегия заключается в использовании специальной функции, объединяющей понятия относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. На каждом шаге выбираются те кластеры для объединения, которые максимизируют эту функцию:

где a выбирается пользователем. Если a > 1, то алгоритм придает большее значение относительному взаимному сходству, а если a < 1, то большее значение имеет относительная взаимная связность. Разумеется, данный подход позволяет получить полную дендрограмму кластерного анализа.

Общая временная сложность этого алгоритма выражается как , где n – количество анализируемых документов, m­ – количество получившихся после первого этапа малых кластеров.