Участник:IanaV/Алгоритм k means

Авторы страницы: Валуйская Я.А., Глотов Е.С.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм k-means (k средних) - один из наиболее популярных алгоритмов кластеризации. Наиболее простой, но в то же время достаточно неточный метод кластеризации в классической реализации.

Алгоритм был разработан в 1956 году математиком Гуго Штейнгаузом , и почти одновременно его изобрел Стюарт Ллойд . Особую популярность алгоритм снискал после работы Джеймса Маккуина

Алгоритм кластеризации k-means решает задачу распределения [math]N[/math] наблюдений (элементов векторного пространства) на заранее известное число кластеров [math]K[/math]. Действие алгоритма таково, что он стремится минимизировать среднеквадратичное отклонение на точках каждого кластера.

Основная идея алгоритма заключается в том, что на каждой итерации перевычисляется центр масс для каждого кластера, полученного на предыдущем шаге, затем векторы разбиваются на кластеры вновь в соответствии с тем, какой из новых центров оказался ближе по выбранной метрике. Алгоритм завершается, когда на какой-то итерации не происходит изменения кластеров.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• множество наблюдений [math]X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}[/math], где каждое наблюдение [math]x_i \in R^d, i = 1, ..., n[/math];
• количество кластеров [math]k \in N, k \leq n[/math]

Обозначения:

• [math]S = \{S_1, S_2, ..., S_k \} [/math] - множество кластеров, которые удовлетворяют следующим условиям:
  • [math]S_i \bigcap S_j = \emptyset, i \neq j[/math];
  • [math]X = {\bigcup \limits _{i = 1}^k S_i} [/math].
• [math]\mu_i \in R^d, i = 1, ..., k[/math] - центр масс кластера [math]S_i[/math]
• [math]d(u, v)[/math] - расстояние между векторами [math]u \in R^m, v \in R^m[/math]

Выходные данные:

• [math]L = (l_1, l_2, ..., l_n)[/math] - набор меток, где метка [math]l_i \in N_{[1, k]}[/math] - является порядковым номером кластера, к которому принадлежит вектор [math]x_i[/math]: [math] x_i \in S_{l_i}[/math]

Цель алгоритма k-means - распределить наблюдения из входного множества [math]X[/math] по [math]k[/math] кластерам [math]S = \{S_1, S_2, ..., S_k \} [/math] таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра масс по всем кластерам была минимальной:

[math]\arg\min_{S} \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in S_i} (d(x, \mu_i))^2 [/math],

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Инициализация центров масс
   На данном шаге задаются начальные значения центров масс [math] \mu_1^1, ..., \mu_k^1[/math]. Существует несколько способов их выбора. Они будут рассмотрены ниже.
2. t-ый шаг итерации:
   • Распределение векторов по кластерам
     На данном шаге каждый вектор [math]x \in X[/math] распределяется в свой кластер [math]S_i^t[/math] так, что:
     [math]l_i^t = \arg \min_{j} (d(x, \mu_j^t))^2 , j = 1, ..., k[/math]
   • Пересчет центров масс кластеров
     На данном шаге происходит пересчет центров масс кластеров, полученных на предыдущем этапе:
     [math]\mu_i^{t+1} = \frac{1}{|S_i^t|} \sum_{x \in S_i^t} x[/math]
3. Критерий останова
   [math]\mu_i^t = \mu_i^{t+1},[/math] для всех [math]i = 1, ..., k[/math]

Способы инициализации начальных данных:

1. Метод Forgy
   Случайным образом выбираются [math]k[/math] векторов из множества наблюдений [math]X[/math]. Эти вектора используются в качестве центров масс кластеров [math]\mu_1, ..., \mu_k[/math]
2. Метод случайного разбиения (Random Partition)
   Каждый вектор [math]x_i, i = 1, .., n[/math] случайным образом распределяется в кластер [math]S_j, j = 1, .., k[/math], затем для каждого кластера вычисляется его центр масс [math]\mu_j[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительном ядром алгоритма является шаг 2, состоящий из следующих этапов:

1. распределение векторов по кластерам;
2. пересчет центров масс кластеров.

Распределение векторов по кластерам заключается в следующем: для каждого вектора [math]x_i \in X, i = 1, ..., n[/math] необходимо посчитать расстояние между этим вектором и центром масс кластера [math]\mu_j^t, j = 1, ..., k[/math]. Следовательно, на каждой итерации необходимо выполнить [math]n * k[/math] операций вычисления расстояния между векторами.

Пересчет центров масс кластеров заключается в следующем: для каждого кластера [math]S_i^t \in S, i = 1, ..., k[/math] необходимо пересчитать кластер по формуле, приведенной в пункте выше. Следовательно, на каждой итерации необходимо выполнить [math]k[/math] операций пересчета центров масс кластеров.

1.4 Макроструктура алгоритма

1. Макрооперация "Расстояние между векторами"
   В данном алгоритме используется Евклидова метрика:
   [math]v \in R^m[/math] и [math]u \in R^m: d(v, u) = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (v_j - u_j)^2} [/math];
2. Макрооперация "Пересчет центра масс кластера"
   [math]\mu_i^{t+1} = \frac{1}{|S_i^t|} \sum_{x \in S_i^t} x[/math]

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Псевдокод алгоритма:

Входные данные  : Множество векторов [math]X[/math], количество кластеров [math]k[/math]
Выходные данные : Набор меток [math]L[/math] принадлежности к кластеру
1  Инициализация центров масс [math]\mu_i^1, i = 1, ..., k[/math];
2  t := 1;
3  Для каждого вектора [math]x_i \in X, i = 1, ..., n:[/math] [math]l_i^t = \arg \min_{j} (d(x_i,\mu_j^t))^2 , j = 1, ..., k[/math];
4  Для каждого кластера [math]S_i^t, i = 1, ..., k[/math] выполняется макрооперация "Пересчет центра масс";
5  if ([math]\exists i = 1, ..., k: \mu_i^t \neq \mu_i^{t+1}[/math]) {
6      t := t + 1;
7      goto 3;
8  } else {
9      stop;
10 };

Существующие способы оптимизации алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Подсчитаем количество операций для каждого шага алгоритма.

1. Инициализация:
   • Метод Forgy: [math]N_{init} = 0[/math]
   • Метод случайного разбиения:
     • Количество операций деления: [math]N^{/}_{init} = k * d[/math];
     • Количество операций сложения: [math]N^{+}_{init} = d * (n - k)[/math].
2. Распределение [math]n[/math] векторов [math]x_i \in R^d[/math] по [math]k[/math] кластерам на одной итерации:
   • Количество операций умножения: [math]N^{*}_{distr} = k * n * d[/math];
   • Количество операций сложения: [math]N^{+}_{distr} = k * n * (d - 1)[/math];
   • Количество операция вычитания: [math]N^{-}_{distr} = k * n * d[/math].
3. Пересчет центра масс [math]\mu_i \in R^d[/math] для [math]k[/math] кластеров на одной итерации:
   • Количество операций деления: [math]N^{/}_{centr} = k * d[/math];
   • Количество операций сложения: [math]N^{+}_{centr} = d * (n - k)[/math].

Следовательно, в случае если алгоритм сошелся за [math]i[/math] итераций, получаем:

• Операций сложения/вычитания: [math]N^{+,-}_{k-means} = N^{+}_{init} + i*(N^{+}_{distr} + N^{-}_{distr} + N^{+}_{centr}) = d * (n - k) + i*(k*n*(d-1)+k*n*d+d*(n-k)) \thicksim O(i*k*n*d)[/math]
• Операций умножения/деления: [math]N^{*,/}_{k-means} = N^{/}_{init} + i*(N^{*}_{distr} + N^{/}_{centr}) = k * d + i*(k*n*d+k*d) \thicksim O(i*k*n*d)[/math]

Таким образом, последовательная сложность алгоритма k-means для [math]n[/math] [math]d[/math]-мерных векторов и [math]k[/math] кластеров за [math]i[/math] итераций, требуемых для сходимости алгоритма:

[math]O(i * n * k * d)[/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

• [math]n[/math] векторов [math]x_i \in R^d, i = 1, ..., n[/math];
• число кластеров [math]k \in N_{[1,n]}[/math].

Объем входных данных: [math]n * d[/math] действительных чисел, 1 целое число

Выходные данные:

• вектор меток [math]L \in N^n[/math].

Объем выходных данных: [math]n[/math] целых чисел. [math]n \in [1,k][/math]

1.10 Свойства алгоритма

Достоинства

1. Алгоритм прозрачный и понятный, за счет чего очень прост в реализации;
2. Алгоритм имеет высокую скорость работы в случае выбора оптимальных начальных значений центров масс кластеров.

Недостатки

1. Число кластеров является входным аргументом алгоритма. Таким образом, некорректный выбор данного параметра может привести к плохим результатам работы алгоритма, поэтому очень важно проводить диагностические прогоны для подбора оптимального количества кластеров;
2. Алгоритм может сойтись к локальному минимуму (достижение глобального минимума не гарантируется);
3. Результат сильно зависит от выбора начальных значений центров масс кластеров. Существует улучшенная версия алгоритма - k-means++ , которая предлагает свой способ нахождения начальных оптимальных значений центров масс кластеров.

Устойчивость

Алгоритм является устойчивым к погрешностям во входных данных, так как при вычислении центров кластеров расстояния между объектами усредняются, что приводит к уменьшению ошибки

Сбалансированность

todo

Соотношение последовательной и параллельной сложности

todo

Вычислительная мощность

[math]{O(n*d*k*i) \over n*d+n+1} \thicksim {O(d*k*i) \over d+1} \thicksim O(k*i)[/math], где [math]n[/math] - число входных векторов, [math]d[/math] - размерность векторов, [math]k[/math] - число кластеров, [math]i[/math] - число итераций, требуемое для сходимости

Детерминированность

Алгоритм является недетерминированным, так как результат зависит от выбора исходных центров кластеров, а их оптимальный выбор неизвестен.

2 Программная реализация алгоритма

2.2 Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие Open Source реализации алгоритма:

• ELKI - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Java (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
• Weka - содержит реализацию k-means на языке Java
• Apache Mahout - содержит реализацию k-means в парадигме MapReduce
• Spark Mllib - содержит распределенную реализацию k-means
• Accord.NET - содержит реализацию k-means на C# (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
• MLPACK - содержит реализацию k-means на языке C++
• OpenCV - содержит реализацию k-means на C++. А также есть обертки для языков Python и Java
• SciPy - содержит реализацию k-means на языке Python
• Scikit-learn - содержит реализацию k-means на языке Python
• Julia - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Julia
• Octave - содержит реализацию k-means на языке Octave
• R - содержит реализацию k-means на языке R
• Torch - содержит реализацию k-means на языке Lua