Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции: различия между версиями
| Строка 31: | Строка 31: | ||
Для <math>D(n)</math> есть точное значение: <math>\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. | Для <math>D(n)</math> есть точное значение: <math>\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. | ||
| − | <math>D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. Если использовать сортировку со сложностью <math>S(n) = O(n\log{n})</math>, то <math>D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(n\log{\frac{n^{\log_2{k}}}{2^\frac{\log_2{k}(\log_2{k}+1))}{2}}}) = O(n(\log{n}\log{k} - \frac{\ | + | <math>D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. Если использовать сортировку со сложностью <math>S(n) = O(n\log{n})</math>, то <math>D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(n\log{\frac{n^{\log_2{k}}}{2^\frac{\log_2{k}(\log_2{k}+1))}{2}}}) = O(n(\log{n}\log{k} - \frac{\log^2_2{k}}{2})) = O(\log{k}\cdot n\log{n})</math>. |
== Информационный граф == | == Информационный граф == | ||
Версия 13:21, 15 октября 2016
Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритмов
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритмов
1.1 Общее описание алгоритма
1.2 Математическое описание алгоритма
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
1.4 Макроструктура алгоритма
Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]k-1[/math]) сортировки(функция sort).
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Обозначим через [math]D_k(n)[/math] сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с [math]n[/math] вершинами на [math]k[/math] частей.
Введем [math]D(n) = D_k(n)[/math] при [math]k = n[/math]. Для [math]D(n)[/math] верно следующее рекуррентное равенство:
[math] \begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array} [/math], где [math]S(n)[/math] это сложность алгоритма сортировки массива из [math]n[/math] элементов.
Пусть [math]S(n) = O(n\log{n})[/math], например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве [math]D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon}[/math].
Для [math]D(n)[/math] есть точное значение: [math]\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})[/math].
[math]D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})[/math]. Если использовать сортировку со сложностью [math]S(n) = O(n\log{n})[/math], то [math]D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(n\log{\frac{n^{\log_2{k}}}{2^\frac{\log_2{k}(\log_2{k}+1))}{2}}}) = O(n(\log{n}\log{k} - \frac{\log^2_2{k}}{2})) = O(\log{k}\cdot n\log{n})[/math].
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные: граф [math]G = (V, E) [/math], вложенный в [math]\mathbb{R}^N[/math] (помимо матрицы смежности (или любого другого представления графа) для каждой вершины [math]v \in V[/math] задан набор её координат [math]v = (v_1, \dots, v_N) \in \mathbb{R}^N[/math], то есть [math]V[/math] задаётся матрицей размера [math]|V| \times N[/math]), а также число [math]k[/math] частей (доменов), на которое нужно разбить граф.
Объём входных данных: [math]N|V| + |G|[/math], где [math]|G|[/math] - объём данных, представляющих граф [math]G[/math], который в общем случае зависит от выбранного представления.
Выходные данные: [math]k[/math] доменов графа [math]G[/math], задающих его декомпозицию.
Объём выходных данных: [math]|V|[/math] - для каждого домена достаточно хранить соответствующие вершинам из этого домена индексы строк в матрице, представляющей множество вершин.
