Участник:Kozlov Vladimir/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией: различия между версиями
| Строка 5: | Строка 5: | ||
Метод Рэлея-Ритца является методом поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Если <math>Q = [Q_k, Q_u]</math> — ортонормированная матрица размера <math>n \times n</math>, <math>Q_k</math> имеет размер <math>n \times k</math>, <math>Q_u</math> имеет размер <math>n \times n - k</math>, то можно записать равенство | Метод Рэлея-Ритца является методом поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Если <math>Q = [Q_k, Q_u]</math> — ортонормированная матрица размера <math>n \times n</math>, <math>Q_k</math> имеет размер <math>n \times k</math>, <math>Q_u</math> имеет размер <math>n \times n - k</math>, то можно записать равенство | ||
| − | <math>T = Q^T A Q = \left[ \begin{array}{cc} | + | <math>T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = |
| + | \left[ \begin{array}{cc} | ||
| + | Q_k^T A Q_k & Q_k^T A Q_u\\ | ||
| + | Q_u^T A Q_k & Q_u^T A Q_u | ||
| + | \end{array} \right] | ||
| + | = \left[ \begin{array}{cc} | ||
T_{k} & T_{ku}^T\\ | T_{k} & T_{ku}^T\\ | ||
T_{ku} & T_{u} | T_{ku} & T_{u} | ||
Версия 16:10, 15 октября 2016
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм Ланцоша — это итерационный алгоритм поиска [math]k[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]A[/math] размера [math]n \times n[/math]. Алгоритм применяется, когда матрица [math]A[/math] слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм метод Рэлея-Ритца поиска приближённых собственных значений и метод Ланцоша построения крыловского подпространства.
Метод Рэлея-Ритца является методом поиска [math]k[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]A[/math] размера [math]n \times n[/math]. Если [math]Q = [Q_k, Q_u][/math] — ортонормированная матрица размера [math]n \times n[/math], [math]Q_k[/math] имеет размер [math]n \times k[/math], [math]Q_u[/math] имеет размер [math]n \times n - k[/math], то можно записать равенство
[math]T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = \left[ \begin{array}{cc} Q_k^T A Q_k & Q_k^T A Q_u\\ Q_u^T A Q_k & Q_u^T A Q_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} T_{k} & T_{ku}^T\\ T_{ku} & T_{u} \end{array} \right].[/math]
Метод Рэлея-Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы [math]T_k[/math] объявляются приближёнными собственными значениями матрицы [math]A[/math]. Можно показать, что
