Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара

Построение матрицы Адамара
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^2)[/math]
Объём входных данных	[math]1[/math]
Объём выходных данных	[math]n^2[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(1)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n^2)[/math]

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Они находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (блок-схемы) и других областях математики. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.

Матрицей Адамара порядка n называется [math]n*n[/math] матрица [math]H[/math], элементами которой являются +1 и −1 такая, что [math]H H^T = n E_n[/math], где [math]E_n[/math] - единичная матрица размера n.

Матрица Адамара обладает следующими свойствами:

• Различные строки матрицы ортогональны
• Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
• Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
• Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной

Ниже показаны примеры нормализованных матриц Адамара порядка 1,2 и 4, причем нормализованность матриц сохраняется при перестановке любых строк и столбцов, кроме первых:

[math]H_1 = (1)[/math] [math], H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} [/math], [math], H_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix} [/math]

Предполагается, что существуют матрицы Адамара порядка 1, 2 и всех порядков n, кратных 4, хотя это до сих пор еще не было доказано. Нет универсального алгоритма построения матрицы Адамара произвольного размера, но известно большое число методов для различных частных случаев, и наименьший порядок, для которого матрица Адамара еще не построена, равен 268 (на 1977 г.). Мы приведем метод построения Пейли, который важен для теории кодирования.

1.1.1 Метод Пейли

Это построение дает матрицы Адамара любого порядка [math]n=p+1[/math], кратного 4, где p-простое число.

Определение. Пусть p-простое число. Ненулевые квадраты чисел, приведенные по модулю p, называются квадратичными вычетами по модулю p или просто вычетами по модулю p.

Функция [math]X(i)[/math], называемая символом Лежандра, определяется на целых числах следующим образом:

• [math]X(i)=0[/math], если i кратно p;
• [math]X(i)=1[/math], если остаток от деления i на p является квадратным вычетом по модулю p;
• [math]X(i)=-1[/math], если остаток от деления i на p является невычетом.

Теперь мы построим матрицу Джекобстола [math]Q=(q_{ij})[/math]. Она представляет собой [math](p*p)[/math]-матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы числами 0,1,..., p-1, а элементы [math]q_{ij}=X(j-i)[/math].

Пусть теперь [math] H = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1^T & Q-I\end{pmatrix} [/math].

Доказано, что такая матрица [math]H[/math] представляет собой нормализованную матрицу Адамара порядка p+1, которую называют матрицей типа Пейли.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара [math]n[/math], удовлетворяющее следующим свойствам:

• [math]n\gt 0[/math];

• [math]n[/math] делится на 4;

• [math]n-1[/math] - простое число.

Вспомогательные данные:

• Число [math]p=n-1[/math];
• Вектор квадратичных вычетов (по модулю [math]p[/math]) [math]R[/math] (элементы [math]r_i[/math]) размера [math]2p[/math]. В этом векторе индексация идёт с нуля.

Вычисляемые данные:

• Матрица Адамара [math]H[/math] (элементы [math]h_{ij}[/math]) размера [math]n \times n[/math]. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля.

Алгоритм:

1. Строится вектор квадратичных вычетов [math]R[/math].

Первые [math]p[/math] элементов вектора [math]R[/math] ([math]i=0,1,...,p-1[/math]) определяются следующим образом:

[math]r_i=1[/math], если [math]i \in \{1^2[/math] [math]mod[/math] [math]p, 2^2[/math] [math]mod[/math] [math]p, ... , (\frac{p-1}{2})^2[/math] [math] mod[/math] [math] p\}[/math], [math]i=0,1,...,p-1[/math], то есть если [math]i[/math] является квадратичным вычетом по модулю [math]p[/math];

[math]r_i=-1[/math], иначе.

Вторые [math]p[/math] элементов ([math]i=p,1,...,2p-1[/math]) являются копией первых [math]p[/math] элементов:

[math]r_i=r_{i-p}, i=p,1,...,2p-1.[/math]

2. Строится матрица Адамара [math]H[/math].

Элементы матрицы Адамара [math]H[/math] находятся следующим образом:

[math]h_{0j}=1, j=0,1, ... ,n-1;[/math]

[math]h_{i0}=1, i=1,2, ... ,n-1;[/math]

[math]h_{ij}=r_{j-i+p}, i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма состоит из [math](n-1) \times (n-1)[/math] операций присваивания следующего вида:

[math]h_{ij}=r_{j-i+p},[/math] [math] i=1,2, ... ,n-1, j=1,2, ... ,n-1.[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Как видно из математического описания, алгоритм основан на простейших операциях с числами, поэтому макроструктура алгоритма полностью соответствует его математическому описанию.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Приведем процедуру на языке С++, реализующую описанный алгоритм. На вход процедуре подается порядок матрицы [math]n[/math] и ссылка на заполняемую матрицу [math]result[/math]. Считаем, что [math]n[/math] положительно, делится на [math]4[/math], [math]n-1[/math] - простое число, а размер матрицы [math]result[/math] равен [math]n \times n[/math].

void buildHadamardMatrix(int n, vector<vector<int>> & result)
{
	// 1) Считаем вычеты по модулю p=n-1 и создаем вспомогательный массив вычетов residues
	// Достаточно посчитать значения (1^2 mod p), (2^2 mod p), ... , (((p-1)/2)^2 mod p) - эти значениями и будут являться вычетами.
	// Строим массив residues размера 2*p, в котором первые p элементов заполняются по следующей схеме: 1, если индекс элемента - вычет, -1 - иначе.
	// Вторая половина массива получается дублированием первой половины
	int p=n-1;
	vector<int> residues;
	residues.resize(2*p);
	// Заполняем массив
	for (int i=0; i<p; i++) {
		residue[i] = -1;
	}
	for (int i=1; i<= (p-1)/2; i++) {
		residue[i^2 % p] = 1;
	}
	for (int i=p; i<2*p; i++) {
		residue[i] = residue[i-p];
	}

	// 2) Построение матрицы Адамара
	// Заполнение первой строки 1-цами
	for (int j=0; j<n; j++) {
		result[0][j] = 1;
	}
	// Заполнение первого столбца 1-цами
	for (int i=1; i<n; i++) {
		result[i][0] = 1;
	}
	// Заполнение оставшейся части матрицы с использованием вспомогательного массива вычетов residues
	for (int i=1; i<n; i++) {
		for (int j=1; j<n; j++) {
			result[i][j] = residues[j-i+p];
		}
	}
}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Основными операциями алгоритма являются:

• [math]\frac{n}{2}-2[/math] операций умножения;
• [math]\frac{n}{2}-2[/math] операций взятия остатка;
• [math]n^2+2n-2[/math] операций присваивания.

Из чего следует, что алгоритм имеет квадратичную последовательную сложность.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: порядок матрицы Адамара [math]n[/math]. Дополнительные ограничения на [math]n[/math]:

• [math]n\gt 0[/math]
• [math]n[/math] делится на 4
• [math]n-1[/math] - простое число

Объем входных данных: 1 (число [math]n[/math])

Выходные данные: матрица Адамара [math]H[/math] (элементы [math]h_{ij}[/math])

Объем выходных данных: [math]n^2[/math] (количество элементов матрицы Адамара порядка [math]n[/math])

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Алгоритм построения матрицы Адамара реализован в различных математических пакетах и библиотеках:

• MATLAB (вносятся дополнительные ограничения, когда n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2)
• R
• Wolfram Mathematica
• SciPy для Python

3 Литература

[1] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — c. 52-57