Участник:Анюшева Ирина/Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений GMRES (обобщенный метод минимальных невязок): различия между версиями
| Строка 32: | Строка 32: | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| − | AV_i &= V_i H_i + h_{i+1,i}v_{i+1} | + | AV_i &= V_i H_i + h_{i+1,i}v_{i+1} e_i^T &=V_{i+1}\overline{H_i}, |
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
| − | V_i &= верхняя матрица Хессенберга <math>\ | + | :<math> |
| − | + | \begin{align} | |
| + | V_i &= [v_1|v_2|...|v_i], \overline{H} - \end{align} | ||
| + | </math> верхняя матрица Хессенберга размерности <math>(i+1)\times i</math> | ||
===Схема реализации последовательного алгоритма=== | ===Схема реализации последовательного алгоритма=== | ||
Версия 20:10, 15 октября 2016
Основные авторы описания: Анюшева Ирина (614 группа), Исхаков Эльдар (614 группа)
Содержание
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Обобщенный метод минимальных невязок (GMRES) для решения системы линейных алгебраических уравнений аппроксимирует решение с помощью вектора в подпространства Крылова с минимальным остатком. Метод GMRES разработан Ю.Саадом и Мартин Х. Шульцом в 1986 году. Метод по праву считается одним из самых эффективных численных методов решения несимметричных систем. Он гарантирует неувеличение нормы невязки в ходе итерационного процесса, который строится основан на построении базиса в соответствующей системе подпространстве Крылова [math]K_j(A, r_0)[/math]. Затем решение уточняется некоторой добавкой, представленной в виде разложения по этому базису.
Метод обобщенных минимальных невязок популярен из-за наличия ряда преимуществ: он ошибкоустойчив, допускает эффективное распараллеливание, не требует нахождения параметра релаксации, обладает суперлинейной скоростью сходимости. Однако в чистом виде для больших систем метод не используется из-за чрезвычайно больших затрат памяти. Зато широкое распространение получила перезапускаемая версия метода, подоразумевающая перезапуск метода каждые m итераций. Уменьшение размерности пространства может привести к стагнации метода – процессу, при котором с каждой следующей итерацией норма невязки уменьшается незначительно, либо не уменьшается вовсе.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные: система линейных алгебраических уравнений [math]Ax=b[/math], где:
[math]A=(a_{ij})[/math] [math]-[/math] вещественная матрица размера [math]n \times n[/math];
[math]b[/math] и [math]x[/math] вектора из [math]n[/math] элементов;
[math]x^*[/math] [math]-[/math] точное решение системы.
Вычисляемые данные: [math]x^{(s)} - [/math]приближенное решение системы.
1.2.1 Ортогонализация Арнольди
Для построения базиса в подпространстве Крылова в методе GMRES применяется ортогонализация Арнольди.
Формулы метода:
- [math] \begin{align} (h_{i+1,i}v_{i+1}) & = Av_i - \sum_{j = 1}^{i} h_{j,i}v_j, \\ v_1 &= \frac{r_0}{\parallel r_0 \parallel}, \end{align} [/math]
В матрично-векторных обозначениях соотношение может быть записано как
- [math] \begin{align} AV_i &= V_i H_i + h_{i+1,i}v_{i+1} e_i^T &=V_{i+1}\overline{H_i}, \end{align} [/math]
- [math] \begin{align} V_i &= [v_1|v_2|...|v_i], \overline{H} - \end{align} [/math] верхняя матрица Хессенберга размерности [math](i+1)\times i[/math]
1.3 Схема реализации последовательного алгоритма
[math] 1. \text{Выбрать } x_0 \text{ и вычислить } r_0=b-Ax_0 \text{} v_1=\frac{r_0}{\parallel r_0 \parallel} [/math]
