Метод Холецкого (нахождение симметричного треугольного разложения): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Konshin (обсуждение | вклад) |
Konshin (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
== Разложение Холецкого, точечный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы == | == Разложение Холецкого, точечный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы == | ||
| + | |||
| + | Если исходная матрица <math>A</math> представлена в разреженном виде, то для экономии памяти, а также арифметических операций, необходимо учитывать ее разреженность. В этом разделе необходимо рассмотреть три следующие вида разреженности: | ||
| + | |||
| + | 1. ленточная матрица - матрица,ненулевые элементы которой сосредоточены внутри ленты шириной <math>2d+1</math>, т.е. когда <math>a_{ij}=0</math>, если <math>|i-j|>d</math>. В этом случае, при проведении разложения Холдецкого новые ненулевые элементы (если внутри ленты имеются нулевые элементы) могут образовываться только внутри этой же ленты. Количество ненулевых элементов в исходной матрице <math>A</math>, а также в нижнетреугольном множителе <math>L</math> будет около <math>(d+1)n</math>, а арифметичекие затраты соcтавят приблизительно <math>d^2n</math>. | ||
| + | Случай, когда матрица состоит всего из нескольких диагоналей (например, при конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных на регулярной сетке) здесь отдельно не рассматривается, т.к. заполнение в нижнетреугольном множителе <math>L</math> все-равно будет определяться исключительно наличием самой внешней (дальней) диагонали. | ||
| + | |||
| + | 2. профильная матрица - в более общем случае, заполнение в каждой строке треугольного множителе <math>L</math> будет определяться позицией первого ненулевого элемента. Сумма по всем строкам растояний от первого ненулевого элемента строки до главной диагонали и сотавляет "профиль" матрицы и определяет количество ненулевых элементов в нижнетреугольном множителе <math>L</math>. | ||
| + | |||
| + | 3. матрица общей структуры разреженности. Верхней границей заполнения треугольного множителя <math>L</math>, конечно же, будет значение "профиля" матрицы, но учет особенностей структуры ненулевых элементов внутри профиля иногда может дать дополнительный эффект в повышении эффективности вычислений. | ||
=== Основные отличия от случая плотной матрицы === | === Основные отличия от случая плотной матрицы === | ||
Версия 13:33, 18 марта 2015
Содержание
- 1 Разложение Холецкого (метод квадратного корня), базовый точечный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы
- 2 Разложение Холецкого, блочный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы
- 3 Разложение Холецкого, точечный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы
- 4 Разложение Холецкого, блочный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы
- 5 Разложение Холецкого для эрмитовой матрицы
- 6 Использование разложения Холецкого в итерационных методах
- 6.1 Ограничивание заполнения в разложении Холецкого
- 6.2 Неполное разложение Холецкого по позициям IC([math]k[/math])
- 6.3 Приближенное разложение Холецкого по значениям IC([math]\tau[/math])
- 6.4 Приближенное разложение Холецкого второго порядка IC([math]\tau_1,\tau_2[/math])
- 6.5 Комбинация разложений Холецкого IC([math]k,\tau[/math]) и IC([math]\tau,m[/math])
- 7 Использование разложения Холецкого в параллельных итерационных алгоритмах
- 7.1 Переупорядочивания для выделения блочности
- 7.2 Разложение в независимых блоках
- 7.3 Разложение в сепараторах
- 7.4 Иерархические и вложенные алгоритмы
- 7.5 Блочный метод Якоби (без перекрытия блоков, Block Jacobi - BJ)
- 7.6 Адитивный метод Шварца (Additive Schwarz - AS)
- 7.7 Блочный метод неполного обратного разложения Холецкого (BIIC)
- 8 Решение линейной системы с треугольной матрицей
- 8.1 Решение системы с плотной верхнетреугольной матрицей
- 8.2 Решение системы с плотной нижнетреугольной матрицей
- 8.3 Решение системы с разреженной верхнетреугольной матрицей
- 8.4 Решение системы с разреженной нижнетреугольной матрицей
- 8.5 Решение системы с комплексной треугольной матрицей
- 8.6 Решение систем с блочноокаймленными треугольными матрицами
1 Разложение Холецкого (метод квадратного корня), базовый точечный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы
Разложение Холецкого (метод квадратного корня), базовый точечный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы.
2 Разложение Холецкого, блочный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы
Можно также рассмотреть блочный вариант разложения Холецкого. Предположим, что [math]n=MN[/math], тогда исходную матрицу [math]A[/math] размера [math]n\times n[/math] можно представить как блочную матрицу размера [math]N\times N[/math] с блоками размера [math]M\times M[/math]. Все формулы, используемые для получения точечного разложения Холецкого, для блочной матрицы [math]А[/math] останутся практически без изменений. Вместо явного обращения диагональных блоков, эффективнее будет хранить их в факторизованном виде [math]D_{ii}=L_{ii}L^T_{ii}[/math], а вместо точечной операции деления использовать операции решения треугольных систем. Общее количество арифметических операций при этом останется практически неизменным, но зато существенно возрастет локальность вычислений. Размер блока [math]M[/math] выбирают таким образом, чтобы все блоки, участвующие в операции исключения, помещались в кэш первого или второго уровня. В этом случае подкачки данных в память будут минимальными.
Аналогичный прием понадобится также и для эффективной реализации параллельной версии разложения Холецкого, что позволит минимизировать как общее количество обменов, так и количество пересылаемой между процессорами информации. Полезным побочным эффектом использования блочной версии разложения Холецкого может стать повышение скалярной эффективности алгоритма за счет явного использования размера блока [math]M[/math] во внутренних циклах (прием "разворачивания цикла" или "loop unrolling").
3 Разложение Холецкого, точечный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы
Если исходная матрица [math]A[/math] представлена в разреженном виде, то для экономии памяти, а также арифметических операций, необходимо учитывать ее разреженность. В этом разделе необходимо рассмотреть три следующие вида разреженности:
1. ленточная матрица - матрица,ненулевые элементы которой сосредоточены внутри ленты шириной [math]2d+1[/math], т.е. когда [math]a_{ij}=0[/math], если [math]|i-j|\gt d[/math]. В этом случае, при проведении разложения Холдецкого новые ненулевые элементы (если внутри ленты имеются нулевые элементы) могут образовываться только внутри этой же ленты. Количество ненулевых элементов в исходной матрице [math]A[/math], а также в нижнетреугольном множителе [math]L[/math] будет около [math](d+1)n[/math], а арифметичекие затраты соcтавят приблизительно [math]d^2n[/math]. Случай, когда матрица состоит всего из нескольких диагоналей (например, при конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных на регулярной сетке) здесь отдельно не рассматривается, т.к. заполнение в нижнетреугольном множителе [math]L[/math] все-равно будет определяться исключительно наличием самой внешней (дальней) диагонали.
2. профильная матрица - в более общем случае, заполнение в каждой строке треугольного множителе [math]L[/math] будет определяться позицией первого ненулевого элемента. Сумма по всем строкам растояний от первого ненулевого элемента строки до главной диагонали и сотавляет "профиль" матрицы и определяет количество ненулевых элементов в нижнетреугольном множителе [math]L[/math].
3. матрица общей структуры разреженности. Верхней границей заполнения треугольного множителя [math]L[/math], конечно же, будет значение "профиля" матрицы, но учет особенностей структуры ненулевых элементов внутри профиля иногда может дать дополнительный эффект в повышении эффективности вычислений.
3.1 Основные отличия от случая плотной матрицы
3.2 Переупорядочивания для уменьшения количества новых ненулевых элементов
4 Разложение Холецкого, блочный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы
(плотные блоки небольшого размера, равного количеству неизвестных функций на узел, или выбираемому искуственно)
5 Разложение Холецкого для эрмитовой матрицы
Эрмитовой (или комплексно-самосопряженной) матрицей называют такую квадратную комплексную матрицу [math]A[/math], для элементов которой выполняется соотношение [math]a_{ij}=\overline{a_{ji}}[/math] (здесь, если [math]z=a+{\rm i}b[/math] и [math]{\rm i}^2=-1[/math], то [math]\overline z=a-{\rm i}b[/math]). В матричном виде это можно записать как [math]A=\overline{A^T}[/math] или [math]A=A^Н[/math].
5.1 Точечный вариант
Как естественное обобщение разложения Холецкого для точечной симметричной положительно-определеной матрицы может быть рассмотрено разложение Холецкого для эрмитовой матрицы. Все формулы для вычисления разложения остаются прежними, только теперь вместо операций над вещественными числами выполняются аналогичные комплексные операции.
В отличие от вещественного варианта, для выполнении комплексных операций потребуется считывать из памяти вдвое больше данных и производить над ними примерно вчетверо больше арифметических операций, что должно не только несколько улучшыть локальность вычислений, но и повысить их эффективность.
5.2 Блочный вариант
Реализация блочного варианта разложения Холецкого для эрмитовых матриц будет аналогична рассмотрему выше блочному варианту для вещественных матриц.
