Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

Эта работа ждет рассмотрения преподавателем Дата последней правки страницы: 17.10.2016 Авторы этой статьи считают, что задание выполнено.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем в 1986 году как обобщение метода MINRES на случай систем с несимметричными матрицами.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• система линейных алгебраических уравнений вида [math] Ax = b [/math], где [math] A [/math] — невырожденная матрица размера [math]n[/math]-на-[math] n [/math];
• [math] x_0 [/math] - начальное приближение.

Вычисляемые данные:

• [math] x_k [/math] - приближённое решение исходной системы.

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы [math] Ax = b [/math] вектором [math] x_k [/math], который минимизирует [math] l_2 [/math]-норму невязки [math] r_k = Ax_k - b[/math] на подпространстве Крылова:

[math] K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \} [/math].

На каждой итерации метода решение уточняется поправкой, представленной в виде разложения по [math] l_2 [/math]-ортонормированному базису пространства [math] K_k [/math]:

[math] x_k = x_0 + z_k [/math], где [math] x_0 [/math] - некоторое начальное приближение, [math] z_k \in K_k [/math] - поправка решения.

1.2.1 Ортогонализация Арнольди

Для построения ортонормированного базиса [math] K_k [/math] метод использует процесс Арнольди.

Исходные данные:

• [math] v_1 [/math], такой что [math] \|v_1\|_2 = 1 [/math];
• матрица A размером [math] n [/math]-на-[math] n [/math].

Формула процесса:

[math] h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j} [/math], где [math] h_{ij} = (Av_j, v_i)[/math], [math] \quad j=1,\ldots,k [/math].

Алгоритм процесса:

Выполнять для [math] \quad j=1,\ldots,k [/math]:

1. [math] h_{ij} = (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j [/math];
2. [math] \hat{v}_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i} [/math];
3. [math] h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2 [/math];
4. [math] v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}} [/math].

При введении матричных обозначений можно записать:

1. [math] z_k = V_ky_k [/math], где [math] y_k \in \mathbb{R}^k [/math] - вектор коэффициентов;
2. [math] AV_k = V_kH_k + h_{k+1k}v_{k+1} e_k^T = V_{k+1}\overline{H}_k [/math], где [math] V_k = [v_1|v_2|...|v_k] [/math], а [math] \overline{H}_k [/math] - верхняя матрица Хессенберга размерности [math] (j+1) [/math] на [math] j [/math].

1.2.2 Минимизация функционала невязки

Для решения исходной системы GMRES вычисляет приближённое решение [math] x_k [/math], которое минимизизует функционал невязки:

[math] J(y) = \|b- A x_k\|_2 = \|b - A(x_0 + V_ky)\|_2 = \|\beta e_1 - \overline{H}_ky_k \|_2 [/math], где [math] \beta = \|r_0\|_2 [/math].

Вектор [math] y_k [/math] может найден как решение линейной задачи наименьших квадратов размера [math] k+1 [/math]-на-[math] k [/math]:

[math] y_k = \arg\min_{y}\| \beta e_1 - \overline{H}_ky\|_2 [/math].

Для решения задачи матрица [math] \overline{H}_k [/math] приводится к верхнему треугольному виду с помощью [math] k [/math] последовательных вращений Гивенса.

1.2.3 Общая схема метода

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

1. найти ортонормированный базис [math] V_k [/math] подпространства [math] K_k [/math] с помощью ортогонализации Арнольди;
2. найти [math] y_k [/math], минимизирующий [math] \|r_k\|_2 [/math];
3. вычислить [math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math];
4. вычислить [math] r_k [/math] и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

• Вычисление ортонормированного базиса [math] K_k [/math];
• Формирование приближенного решения [math] x_k [/math].

Для вычисления ортонормированного базиса [math] K_k [/math] метод использует процесс Арнольди:

[math] h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j} [/math], где [math] h_{ij} = (Av_j, v_i)[/math], [math] \quad j=1,\ldots,k [/math].

Для нахождения приближённого решения [math] x_k [/math] метод использует формулу:

[math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

• Умножение матрицы на вектор;
• Вычисление скалярного произведения векторов;
• Вычисление [math] l_2 [/math]-нормы вектора;
• Умножение вектора на скаляр;
• Деление вектора на скаляр.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.5.1 Схема реализации классического GMRES

Для решения исходной системы методом GMRES можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Подготовка перед итерационным процессом:

1. Выбрать начальное приближение [math] x_0 [/math];
2. Посчитать невязку [math] r_0 = b - Ax_0 [/math];
3. Вычислить [math] v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} [/math].

k-ая итерация:

1. [math] h_{ik} = (Av_k, v_i), \quad i=1,\ldots,k [/math];
2. [math] \hat{v}_{k+1} = Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{i} [/math];
3. [math] h_{k+1k} = \|\hat{v}_{k+1}\|_2 [/math];
4. [math] v_{k+1} = \frac{\hat{v}_{k+1}}{h_{k+1k}} [/math];
5. [math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math], где [math]y_k[/math] минимизирует [math]\|r_0 - AV_ky_k\|_2[/math].

1.5.2 Схема реализации перезапускаемого GMRES

На практике используется перезапускаемая версия метода - GMRES(m):

1 Подготовка перед итерационным процессом:

1.1 Выбрать начальное приближение [math] x_0 [/math];

1.2 Посчитать невязку [math] r_0 = b - Ax_0 [/math];

1.3 Вычислить [math] v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} [/math].

2. Построение ортонормированного базиса [math] K_m [/math]:

Для всех [math] j [/math] от 1 до m по нарастанию выполнять:

2.1 [math] h_{ij} := (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j [/math];

2.2 [math] \hat{v}_{j+1} := Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i} [/math];

2.3 [math] h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2 [/math];

2.4 [math] v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}} [/math].

3 Вычисление [math] x_m [/math]:

3.1 [math] x_m = x_0 + V_my_m [/math], где [math]y_m[/math] минимизирует [math]\|r_0 - AV_my_m\|_2[/math];

3.2 Вычислить [math] r_m [/math];

3.3 Если требуемая точность достигнута, остановиться.

4 Перезапуск:

4.1 [math]x_0 = x_m[/math];

4.2 [math]v_1 = \frac{r_m}{\|r_m\|_2}[/math];

4.3 Перейти к шагу 2.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Если пренебречь сложностью вычисления [math] y_k [/math], то общую сложность алгоритма GMRES можно разделить на две части:

1. Сложность вычисления ортонормированного базиса пространства [math] K_k [/math]:

a) Для вычисления [math] j [/math]-го вектора базиса [math] K_k, j \lt k[/math] требуется:

[math] NZ + (2j + 1)n [/math] мультипликативных операций, где [math] NZ [/math] - количество ненулевых элементов матрицы [math] A [/math].

b) Вычисление последнего вектора базиса требует:

[math] n(k + 1) [/math] мультипликативных операций.

c) Общая мультипликативная сложность вычисления ортонормированного базиса [math] K_k [/math]:

[math] nk(k + 1) + kNZ [/math].

2. Сложность вычисления приближённого решения [math] x_k [/math]:

Вычисление этой формулы требует [math] nk [/math] мультипликативных операций.

2 Литература

<references \>