Участник:Руфина Третьякова/Хранение ненулевых элементов разреженных матриц. Умножение разреженной матрицы на вектор

Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]nnz[/math]
Объём входных данных	[math]2(nnz+n)+1[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Авторы статьи: Третьякова Р. М. (группа 603), Буторина Е. В. (группа 603)

Руфина Третьякова отвечает за программную реализацию алгоритма, Екатерина Буторина - за написание статьи.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Разрежённая матрица — это матрица с преимущественно нулевыми элементами. В противном случае, если бо́льшая часть элементов матрицы ненулевые, матрица считается плотной. Среди специалистов нет единства в определении того, какое именно количество ненулевых элементов делает матрицу разрежённой. Разные авторы предлагают различные варианты. Огромные разрежённые матрицы часто возникают при решении таких задач, как дифференциальное уравнение в частных производных или операции с графами. При хранении и преобразовании разрежённых матриц в компьютере бывает полезно, а часто и необходимо, использовать специальные алгоритмы и структуры данных, которые учитывают разрежённую структуру матрицы. Операции и алгоритмы, применяемые для работы с обычными, плотными матрицами, применительно к большим разрежённым матрицам работают относительно медленно и требуют значительных объёмов памяти. Однако разрежённые матрицы могут быть легко сжаты путём записи только своих ненулевых элементов, что снижает требования к компьютерной памяти. Сложность операции с разреженными матрицами чаще всего определяется не их размером но числом ненулевых элементов. Далее будет показано, что умножение разреженной матрицы на плотный вектор можно произвести ровно за столько умножений сколько в матрице ненулевых элементов.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: разреженная матрица [math]M^{n*n}[/math], вектор [math]x^n[/math]

Наиболее удобным форматом для вычисления произведения матрицы на вектор является "Compressed Sparse Row" или сокращенно CSR-формат.

Рассмотрим CSR-представление разреженной матрицы: пусть число ненулевых элементов матрицы равно [math]nnz[/math] CSR-формат представляет матрицу [math]M[/math] в виде 3-х одномерных массивов:

массив [math]A[/math] размера [math]nnz[/math] содержит ненулевые значения матрицы, [math]JA[/math] размера [math]nnz[/math] - номера столбцов ненулевых элементов., [math]IA[/math] размера [math]n[/math]- содержит номер с которого начинается описание элементов строки в массивах [math]A[/math] и [math]JA[/math].

Этот формат позволяет производить перемножение матрицы [math]M[/math] на вектор [math]x[/math] за [math]O(nnz)[/math] умножений и сложений. Если при умножении плотной матрицы на вектор каждый элемент результата определяется по формуле [math]y_i = \sum_{k = 1}^{n} A_{ik} x_k[/math], то в случае разреженной матрицы достаточно выполнять умножения только для ненулевых элементов [math]A_ik[/math], которые хранятся в массиве [math]A[/math] в части соответствующей строке [math]i[/math] (элементы с индексами от [math]IA_i[/math] до [math]IA_{i+1}[/math]). Необходимо также знать на какой элемент вектора должен быть домножен данный ненулевой элемент массива, то есть нужен столбцовый индекс каждого элемента [math]A[/math]. Для этого используется массив [math]JA[/math]. Таким образом, каждый элемент итогового вектора определятся формулой

[math]y_i = \sum_{k = IA_i}^{IA_{i+1}} A_k x_{JA_k}[/math]

Нетрудно заметить, что общее число операций умножения равно числу элементов [math]A[/math], то есть числу ненулевых элементов разреженной матрицы.

Например, это разреженная матрица с 4-мя ненулевыми элементами

[math]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math],

представляемая в формате CSR

   A  = [ 2 1 3 4 ]
   IA = [ 0 0 2 3 4 ]
   JA = [ 0 3 2 1 ]

домножим ее на вектор

   x  = [ 5 6 7 8 ]

получим

   y[0] = 0
   y[1] = a[0]*x[0] + a[1]*x[3] = 18
   y[2] = a[2]*x[2] = 21
   y[3] = a[3]*x[1] = 24 

Алгоритм умножения матрицы на вектор полностью детерминирован и не зависит от порядка хранения элементов принадлежащих одной строке.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является формула умножения разреженной матрицы на плотный вектор:

[math]y_i = \sum_{k = IA_i}^{IA_{i+1}} A_k x_{JA_k}[/math]

для всех [math]i = 1,n[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Псевдокод алгоритма:

 Входные данные:
   число строк матрицы n; 
   разреженная матрица в формате CSR:
     строчные указатели IA,
     столбцовые указателиJA, 
     ненулевые элементы A;
   вектор x.
 Выходные данные: произведение матрицы на вектор y.
 read CSR n, IA, JA, A;
 read x
 for i = 1,n:
   for k = IA(i), IA(i+1)-1:
           y(i) += A(k)*x(JA(k));
 write y;

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Метод можно описать следующим образом:

1. привести матрицу [math]M[/math] к формату CSR
2. для [math]i[/math] от [math]0[/math] до [math]n-1[/math] вычислить [math]y_i[/math] по формуле [math]y_i = \sum_{k = IA_i}^{IA_{i+1}} A_k x_{JA_k}[/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для вычисления матрично-векторного произведения матрицы размера [math]n*n[/math] и вектора размера n в последовательном варианте требуется:

• [math]nnz[/math] сложений,
• [math]nnz[/math] умножений.

1.7 Информационный граф

Для того чтобы построить информационный граф рассмотрим процесс вычисления значения одного элемента результирующего вектора [math]y_i[/math]. Число последовательных ярусов равно числу последовательных операций -- [math] AI_{i+1} - AI_i [/math] (в данном случае умножение и сложение будем считать за одну операцию). Если же вычисления всех [math]y_i[/math] производить параллельно, на каждом ярусе будет производиться [math]n[/math] операций.

Информационный граф алгоритма умножения разреженной матрицы на плотный вектор (Рисунок составлен самостоятельно)

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Возможность параллельной реализации алгоритма появляется благодаря независимости вычисления каждого элемента результирующего вектора [math]y_i[/math]. Предположим, что имеется неограниченное число процессоров (теоретически, для максимальной эффективности требуется [math]n[/math] процессоров). Каждый процессор работает с одной строкой разреженной матрицы и хранит в памяти только те части массивов [math] AJ [/math] и [math] A [/math], которые соответствуют данной строке. Вектор [math] x [/math] хранится в памяти всех процессоров. Таким образом достигается экономия памяти (объем данных для i-ого процессора [math] 2(AI_{i+1} - AI_i) + n [/math]). На данном процессоре выполняется [math] AI_{i+1} - AI_i [/math] последовательных операций умножения и сложения. Число ярусов для i-ого процессора равно [math] AI_{i+1} - AI_i [/math]. Поскольку изначальная разреженная матрица имеет произвольную структуру, число ярусов на различных процессорах может быть различно. В худшем случае (если в строке все элементы ненулевые) число ярусов будет равно [math]n[/math].

Таким образом, для алгоритма умножения разреженной матрицы на плотный вектор в параллельном варианте требуется последовательно выполнить:

• не более чем [math]n[/math] ярусов умножений и сложений,
• в каждом из ярусов не более чем [math]n[/math] операций.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам с линейной сложностью. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет линейной.

Замечание: если число процессоров [math]k[/math] меньше числа строк, но отношение [math]\frac{n}{k} = c[/math] является константой, то каждый процессор вычисляет [math]c[/math] элементов результирующего вектора, и число ярусов не более чем [math]cn[/math]. Таким образом, предыдущие оценки сложности сохранятся.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входными данными алгоритма являются:

1. размер разреженной матрицы [math] n [/math];
2. вектор [math] AI [/math] размерности [math] n+1 [/math];
3. вектор [math] AJ [/math] размерности [math] nnz [/math];
4. вектор [math] A [/math] размерности [math] nnz [/math];
5. вектор [math] x [/math] размерности [math] n [/math].

Суммарная размерность входных данных: [math] 2(nnz + n) + 1 [/math]

Выходными данными является

1. вектор [math] y [/math] размерности [math] n [/math].

Объем выходных данных: [math] n [/math].

1.10 Свойства алгоритма

Если размерность матрицы [math]n[/math], число ненулевых элементов [math]nnz[/math], для вычисления используется [math]k[/math] процессоров тогда:

• Каждый процессор оперирует с [math]\frac{n}{k}[/math] строками, в каждой из которых примерно [math]\frac{nnz}{n}[/math] элементов. Параллельная сложность алгоритма - [math]O(\frac{nnz}{k})[/math].

• Вычислительная мощность алгоритма (отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных) - [math]O(\frac{nnz}{2nnz + 3n}) = O(1)[/math] - для последовательного алгоритма; [math]O(\frac{nnz}{n} / (2\frac{nnz}{n} + n)) = O(1) [/math] - для параллельного алгоритма.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Последовательная реализация имеется в пакете SPARSKIT [1], Python.Scipy [2]

Параллельный алгоритм реализован в библиотеке Matlab [3], Intel MKL [4]

3 Литература

[1] С. Писсанецки. Технология разреженных матриц. Изд. Мир, 1988.

[2] В. В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ - Петербург, 2002.