Участник:Pandvik/Ортогонализация Грама - Шмидта

Авторы описания алгоритма: Павлов Андрей, Филимонов Владимир.

Ортогонализация Грамма-Шмидта [1]
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(N^2M)[/math]
Объём входных данных	[math]NM[/math]
Объём выходных данных	[math]NM[/math]

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

В конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Для доказательства этого факта требуется находить и строить такие базисы. Построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта используется для квадратных невырожденных матриц, которые преобразуются, либо уже преобразованы, к верхнему(нижнему) треугольному виду.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта нашёл применение в оптимизации оценивания параметров моделей управления объектом, в протоколах безопасности, в обработке сигналов, в вычислении локальных минимумов целочисленных решёток и многом другом.

Обычно, процесс ортогонализации используется как промежуточный шаг в других алгоритмах для уменьшения количества вычислений.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: квадратная матрица A с линейно независимыми векторами [math]\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_N | \mathbf{a}_i \in \R^{M}[/math].

Определяется оператор проекции [math]\mathbf{proj}_b a = \frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle }b[/math], где [math]\left \langle a,b \right \rangle[/math] - скалярное произведение векторов a и b. Данный оператор используется для проецирования вектора a коллинеарно вектору b.

[math]\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1[/math]

[math]\mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_2 [/math]

[math]\mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_3 [/math]

[math]\mathbf{b}_4 = \mathbf{a}_4 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_4 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_4 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3} \mathbf{a}_4[/math]

[math]\vdots[/math]

[math]\mathbf{b}_N = \mathbf{a}_N - \sum_{j=1}^{N-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_N[/math]

На основе каждого вектора [math]\mathbf{b}_j (j = 1 \cdots N)[/math] может быть получен нормированный вектор [math]\mathbf{e}_j = \frac{\mathbf{b}_j}{||\mathbf{b}_j||}[/math].

Результаты процесса ортогонализации Грама-Шмидта: [math]\mathbf{b}_1\cdots\mathbf{b}_N[/math] - система ортогональных векторов либо система ортонормированных векторов [math]\mathbf{e}_1\cdots\mathbf{e}_N[/math].

Подробное описание можно найти в .

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная сложность данного алгоритма заключается в вычислении суммы проекций векторов [math]\sum_{j=1}^{i-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_N[/math] для каждого [math]b_i[/math].

Подробное описание общей сложности алгоритма представлено в разделе #Последовательная сложность алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

Как можно заметить из #Математическое описание алгоритма, в алгоритме преобладают векторные вычисления. Ключевым этапом процесса ортогонализации Грама-Шмидта является вычисление большого числа проекций для каждого вектора, каждый из которых состоит из трёх операций сложения и одной операции деления. В свою очередь, можно сделать вывод, что основную часть представленного метода составляют вычисления проекций векторов и сумм этих проекций.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Пусть дано множество векторов [math]{a_1, a_2, \cdots , a_N}[/math]. Тогда:

Шаг 1: [math]\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1[/math]

Для вычисления остальных [math]\mathbf{b}_i [/math] следует последовательно выполнять Шаг 2 для всех [math] i [/math] таких что при [math] 2 \le i \le N [/math].

Шаг 2: [math]\mathbf{b}_i = \mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j}} \mathbf{a}_i[/math], где для каждого [math]\mathbf{proj}_b a[/math] выполняется [math]\frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle}b[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Оценим сложность последовательной реализации алгоритма.

Для вычисления одной операции проекции требуется:

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad M \cdot 3[/math] - умножений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad (M-1) \cdot 2[/math] - сложений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad 1 [/math] - деление;

Общее число операций, необходимых для вычисления алгоритма следующее:

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad \frac{N(N-1)}{2} \cdot M \cdot 3[/math] - умножений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad \frac{N(N-1)}{2} \cdot (M-1) \cdot 3 [/math] - сложений и вычитаний;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad \frac{N(N-1)}{2} [/math] - делений.

Исходя из вышесказанного, получаем итоговую сложность последовательного алгоритма [math]O(N^2 \cdot M)[/math].

1.7 Информационный граф

Опишем информационный граф алгоритма. В разделе #Схематичное описание информационного графа будет представлена схема с сокрытием подробностей реализации функции проекции. Такое ограничение позволяет продемонстрировать основные зависимости, не перегружая картинку лишними элементами. В разделе #Уточнение информационного графа будет раскрыта внутренняя структура операции проекции.

1.7.1 Схематичное описание информационного графа

Для вычисления [math]b_i[/math] требуется найти [math]proj_{b_{j}}a_{i}[/math] для всех [math]j \in [1, i][/math]. Следовательно для полного вычисления вектора [math]b_{i}[/math] требуется знать все [math]b_{j}[/math] с меньшим индексом. Такая зависимость по данным очень не удачна для параллелизма. Однако, если разбить процесс вычисления [math]b_{i}[/math] на несколько этапов, соответствующих функциям проекции ([math]proj_{b_{j}}a_{i}[/math]), то это позволит производить некоторые предварительные вычисления для [math]b_{j}[/math] до момента, когда станут известны все предшествующие ей [math]b_{i}[/math].

Далее в этом разделе будут представлены несколько вариантов информационного графа. Общим моментом является выделение двойными фиолетовыми кругами данных, поступающих на вход, а двойными зелёными кругами - те данные, которые будут получены на выходе алгоритма. В предложенных графах, остриё стрелок указывает на элемент, которому требуются некоторые данные. То есть исходящие стрелки обозначают результат операции, а входящие - аргументы операции.

На Рис. 1 изображена зависимость каждого из этапов от предыдущих вычислений. Первая строка овалов содержит все проекции, зависящие от [math]b_{1}[/math], вторая строка - все проекции, зависящие от [math]b_{2}[/math], [math]\;\cdots\;[/math], самая верхняя строка содержит проекцию, которая зависит от [math]b_{N-1}[/math]. Широкие красные стрелки обозначают суммирование элементов с сохранением результата в переменную, находящуюся на острие стрелки. Следует уточнить, что в данном варианте графа указаны только зависимости по данным вычисляемым непосредственно в процессе работы алгоритма. Так, например, опущена зависимость проекций от векторов [math]a_{i}[/math], что позволяет сделать рисунок более наглядным.

Рис. 2 показывает зависимость по данным немного в другом формате. Каждая строка представляет собой набор данных, которые требуются для вычисления [math]b_{i}[/math] из первого столбца. Второй и последующие столбцы группируют проекции, зависящие от одной из [math]b_{i}[/math] и, с помощью стрелки, показывают эту зависимость. В данном варианте схемы зависимости по данным опущены входные данные, так как они изначально доступны для каждой вычислительной единицы.

Рис. 1. Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

Рис. 2. Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

1.7.2 Уточнение информационного графа

В этом разделе будет представлено уточнение информационной структуры графа изображенного на Рис. 1 с помощью раскрытия внутренней структуры операции проекции. Полученный граф несёт в себе новую информацию, которую можно использовать для улучшения алгоритма, но становится менее понятным.

На Рис. 3 изображен граф, аналогичный графу Рис. 1, но функция [math]proj[/math] изображена более подробно. Оранжевым овалом обозначаются скалярные произведения двух векторов. Голубой треугольник - принимает на вход два числа (являющиеся результатами скалярных произведений) и вычисляет их частное. Зелёным шестиугольником обозначается произведение вектора [math]a_i[/math] на число. Фиолетовый ромб складывает два числа, от которых имеется зависимость.

По сравнению с Рис. 1, более детальное описание информационной модели позволяет заметить повторяющиеся построчно скалярные произведения [math](b_i, b_i)[/math]. Это замечание позволяет уменьшить суммарное число операций, но увеличивает связность графа.

Рис. 3. Уточненный информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

На основе графа зависимости по данным, представленном на Рис. 1 или Рис. 2 раздела #Информационный граф можно выделить следующий ресурс для параллелизации. После вычисления [math]b_{i}[/math] можно начинать параллельно вычислять все [math]proj_{b_i}a_{j}[/math]. На Рис. 2 блоки, которые можно вычислять параллельно представлены столбцами.

Кроме того, при очень больших размерностях можно также распараллелить вычисление проекций. Так как в функции проекции участвует пара векторов [math]a[/math] и [math]b[/math], а сама операция проекции определяется как [math]\mathbf{proj}_b a = \frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle }b[/math], где [math]\left \langle a,b \right \rangle[/math] - скалярное произведение векторов [math]a[/math] и [math]b[/math], то с помощью использования векторных операций можно получить некоторый выигрыш в производительности.

1.8.1 Оценка ускорения параллельной реализации алгоритма

Рассмотрим случай, когда присутствует возможность запуска бесконечного числа потоков. Попробуем оценить сложность вычисления ортогональных векторов, при условии, что параллельно будут запускаться все проекции использующие одинаковую [math]b_i[/math]. В этом случае, останется критический путь зависимости по данным: [math]b_1 \leftarrow proj_{b_2}a_{2} \leftarrow b_2 \leftarrow proj_{b_3}a_{3} \leftarrow \ldots \leftarrow proj_{b_{N-1}}a_{N-1} \leftarrow b_N[/math]. Следовательно для оценки сложность распараллеленной версии алгоритма достаточно почитать сложность представленной цепочки вычислений.

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad M \cdot 3[/math] умножения в одной проекции;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad (M-1) \cdot 2[/math] сложения;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad 1[/math] деление;

В цепочке зависимости данных присутствует [math]N-1[/math] проекция, значит всего:

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad N \cdot M \cdot 3[/math] - умножений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad N \cdot (M-1) \cdot 2[/math] - сложений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad N \cdot 1[/math] - делений.

Получаем итоговую сложность [math]O(N \cdot M)[/math].

Если дополнительно рассматривать возможность параллелизации векторных операций (скалярного произведения и умножения вектора на число), критический путь можно сократить до следующих операций:

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad 3 \cdot N [/math] умножений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad N [/math] делений;

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad N \cdot logM [/math] сложений;

Следовательно оценка сложности параллельного алгоритма станет равна [math]O(N \cdot logM)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: прямоугольная матрица [math]A^{M \times N}[/math] (элементы [math]\mathbf{a}_{ij}[/math]).

Ограничение: матрица [math]A[/math] должна быть невырожденной.

Объём входных данных: [math] N \cdot N[/math].

Выходные данные: матрица [math]B[/math] (система ортогональных векторов [math]\mathbf{b}_{1} \cdots \mathbf{b}_{N}[/math]).

Объём выходных данных: [math]N \cdot N[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов : [math]\frac{N^2 \cdot M}{N \cdot log M} = \frac{N \cdot M}{log M}[/math].

Отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных - линейное.

Существуют несколько реализаций рассматриваемого алгоритма. Статья описывает три версии данного алгоритма: строковый классический алгоритм Г-Ш (Грама - Шмидта), столбцовый классический алгоритм Г-Ш и модифицированный алгоритм Г-Ш. Модифицированный алгоритм Грама-Шмидта является вычислительно более устойчивым , то есть позволяет уменьшить погрешность вычислений связанную с ошибкой выполнения операций с плавающей точкой.

Процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт [math] 0 [/math] (нулевой вектор) на шаге [math] j [/math], если [math]a_{j}[/math] является линейной комбинацией векторов [math]a_{1}, \ldots ,a_{j-1}[/math].

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

TODO: (до 15 ноября)

2.7 Существующие реализации алгоритма

Пример реализации базового алгоритма на языке Си с использованием технологий OpenMP и MPI представлен в статье .

Во всех библиотеках предназначенных для математических вычислений реализованы алгоритмы ортогонализации. В наиболее популярных:

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad [/math] Mathematica - Orthogonalize[{v1,v2,…}] [2]

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad [/math] Maxima - gramschmidt(x) [3]

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad [/math] MatLab - orth(A) [4]

[math]{\color{Blue}\bullet} \quad [/math] SciPy - scipy.linalg.orth(A) [5] - Ортогонализация с использованием алгоритма SVD.