Участница:V/Вычисление статистик квадрата норм разностей спектральных проекторов случайных матриц: различия между версиями
V (обсуждение | вклад) |
V (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
Пусть <math>X_{1},\dots, X_{n}</math> -- независимые и нормально распределенные случайные вектора в <math>\R^p</math> с нулевым средним и матрицей ковариацией <math>\Sigma</math>, она лежит в <math>\R^{pxp}</math> и такая, что ее собственные значения быстро убывают, т.е. 3-5 больших, а остальные, к примеру, в диапазоне от 1 до 3. | Пусть <math>X_{1},\dots, X_{n}</math> -- независимые и нормально распределенные случайные вектора в <math>\R^p</math> с нулевым средним и матрицей ковариацией <math>\Sigma</math>, она лежит в <math>\R^{pxp}</math> и такая, что ее собственные значения быстро убывают, т.е. 3-5 больших, а остальные, к примеру, в диапазоне от 1 до 3. | ||
| − | К этой выборке применим бутстрэп и вычислим в мире бутстрэпа <math>M</math> матриц ковариаций сигма <math>\Sigma^{o}_{j}, j = 1,...,M.</math> | + | К этой выборке применим бутстрэп (<ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Статистический_бутстрэп<\ref>) и вычислим в мире бутстрэпа <math>M</math> матриц ковариаций сигма <math>\Sigma^{o}_{j}, j = 1,...,M.</math> |
Далее фиксируем <math>r</math>, обозначим за <math>P_{r}, P^{o}_{j}, j = 1,...,M</math> - проекторы на r-ое подпространство и вычислим следующие статистики: | Далее фиксируем <math>r</math>, обозначим за <math>P_{r}, P^{o}_{j}, j = 1,...,M</math> - проекторы на r-ое подпространство и вычислим следующие статистики: | ||
Версия 00:03, 30 ноября 2016
Основные авторы описания: В.С.Шумовская
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Пусть [math]X_{1},\dots, X_{n}[/math] -- независимые и нормально распределенные случайные вектора в [math]\R^p[/math] с нулевым средним и матрицей ковариацией [math]\Sigma[/math], она лежит в [math]\R^{pxp}[/math] и такая, что ее собственные значения быстро убывают, т.е. 3-5 больших, а остальные, к примеру, в диапазоне от 1 до 3.
К этой выборке применим бутстрэп (<ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Статистический_бутстрэп<\ref>) и вычислим в мире бутстрэпа [math]M[/math] матриц ковариаций сигма [math]\Sigma^{o}_{j}, j = 1,...,M.[/math]
Далее фиксируем [math]r[/math], обозначим за [math]P_{r}, P^{o}_{j}, j = 1,...,M[/math] - проекторы на r-ое подпространство и вычислим следующие статистики:
[math]S^{o}_{j} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}[/math]
Задача -- вычислить большое количество этих статистик для визуализации их распределения.
1.2 Математическое описание алгоритма
- Генерация матрицы ковариации.
- Возьмем нужный нам набор собственных значений и поместим их на диагонали матрицы [math]\Lambda[/math].
- Далее генерируем базис [math]p[/math]-мерного пространства и поместим его в матрицу [math]U[/math].
- Тогда [math]\Sigma = U\Lambda U^{T}[/math].
