Участница:V/Вычисление статистик квадрата норм разностей спектральных проекторов случайных матриц: различия между версиями
V (обсуждение | вклад) |
V (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
##Далее генерируем базис <math>p</math>-мерного пространства и поместим его в матрицу <math>U.</math> | ##Далее генерируем базис <math>p</math>-мерного пространства и поместим его в матрицу <math>U.</math> | ||
##Тогда <math>\Sigma = U\Lambda U^{T}.</math> | ##Тогда <math>\Sigma = U\Lambda U^{T}.</math> | ||
| − | #Генерация векторов <math>X</math> ~ <math>N(\theta, \Sigma).</math> | + | #Проделываем следующий цикл N раз: |
| − | #Генерация весов <math>w</math> ~ <math>N(1, 1).</math> | + | ##Генерация векторов <math>X</math> ~ <math>N(\theta, \Sigma).</math> |
| − | #Вычисление матриц ковариаций в бутстрэпе <math>\Sigma^{o} = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}w_{k}X_{k}X^{T}_{k}. </math> | + | ##Проделываем следующий цикл M раз: |
| − | #Вычисление собственных векторов <math>u_{1},\dots,u_{p}</math> (в порядке убывания). | + | ###Генерация весов <math>w</math> ~ <math>N(1, 1).</math> |
| − | #Вычисление проекторов (считаем, что одномерные) по формуле <math>u = u_{r}u^{T}_{r}.</math> | + | ###Вычисление матриц ковариаций в бутстрэпе <math>\Sigma^{o} = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}w_{k}X_{k}X^{T}_{k}. </math> |
| − | #Вычисление статистик <math>S^{o} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}.</math> | + | ###Вычисление собственных векторов <math>u_{1},\dots,u_{p}</math> (в порядке убывания). |
| − | + | ###Вычисление проекторов (считаем, что одномерные) по формуле <math>u = u_{r}u^{T}_{r}.</math> | |
| + | ###Вычисление статистик <math>S^{o} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}.</math> | ||
| + | |||
== Вычислительное ядро алгоритма == | == Вычислительное ядро алгоритма == | ||
Версия 00:30, 30 ноября 2016
Основные авторы описания: В.С.Шумовская
Содержание
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Пусть [math]X_{1},\dots, X_{n}[/math] -- независимые и нормально распределенные случайные вектора в [math]\R^p[/math] с нулевым средним и матрицей ковариацией [math]\Sigma[/math], она лежит в [math]\R^{pxp}[/math] и такая, что ее собственные значения быстро убывают, т.е. 3-5 больших, а остальные, к примеру, в диапазоне от 1 до 3.
К этой выборке применим бутстрэп и вычислим в мире бутстрэпа [math]M[/math] матриц ковариаций сигма [math]\Sigma^{o}_{j}, j = 1,\dots,M.[/math]
Далее фиксируем [math]r[/math], обозначим за [math]P_{r}, P^{o}_{j}, j = 1,\dots,M[/math] - проекторы на r-ое подпространство и вычислим следующие статистики:
[math]S^{o}_{j} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}[/math]
Задача -- вычислить большое количество этих статистик для визуализации их распределения.
1.2 Математическое описание алгоритма
- Генерация матрицы ковариации.
- Возьмем нужный нам набор собственных значений и поместим их на диагонали матрицы [math]\Lambda.[/math]
- Далее генерируем базис [math]p[/math]-мерного пространства и поместим его в матрицу [math]U.[/math]
- Тогда [math]\Sigma = U\Lambda U^{T}.[/math]
- Проделываем следующий цикл N раз:
- Генерация векторов [math]X[/math] ~ [math]N(\theta, \Sigma).[/math]
- Проделываем следующий цикл M раз:
- Генерация весов [math]w[/math] ~ [math]N(1, 1).[/math]
- Вычисление матриц ковариаций в бутстрэпе [math]\Sigma^{o} = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}w_{k}X_{k}X^{T}_{k}. [/math]
- Вычисление собственных векторов [math]u_{1},\dots,u_{p}[/math] (в порядке убывания).
- Вычисление проекторов (считаем, что одномерные) по формуле [math]u = u_{r}u^{T}_{r}.[/math]
- Вычисление статистик [math]S^{o} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}.[/math]
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Основное время работы алгоритма приходится на работу с матрицами (присутствует очень много умножений).
