Участник:Blizn/Хранение ненулевых элементов разреженной матрицы. Умножение разреженной матрицы на вектор.

Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(l)[/math]
Объём входных данных	[math]2l+m+n+1[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(m)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Выполнила: И.В. Близнякова (611 группа).

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Разрежённая матрица — это матрица с преимущественно нулевыми элементами. В противном случае, если бо́льшая часть элементов матрицы ненулевые, матрица считается плотной.

Среди специалистов нет единства в определении того, какое именно количество ненулевых элементов делает матрицу разрежённой. Разные авторы предлагают различные варианты. Для матрицы порядка n число ненулевых элементов:

• есть [math]O(n)[/math]. Такое определение подходит разве что для теоретического анализа асимптотических свойств матричных алгоритмов;
• в каждой строке не превышает 10 в типичном случае;
• ограничено [math]n^{1+\gamma}[/math], где [math]\gamma \lt 1[/math].
• таково, что для данного алгоритма и вычислительной системы имеет смысл извлекать выгоду из наличия в ней нулей.

1.1.1 Хранение разреженной матрицы

1.1.1.1 Формат RR(C)O

Рассмотрим сначала формат RR(C)O. Сокращенное название данного формата происходит от английского словосочетания "Row - wise Representation Complete and Ordered" (строчное представление, полное и упорядоченное). В данном формате вместо одного двумерного массива, используются три одномерных. Значения ненулевых элементов матрицы и соответствующие им столбцовые индексы хранятся в этом формате по строкам в двух массивах [math]AN[/math] и [math]JA[/math]. Массив указателей [math]IA[/math], используется для ссылки на компоненты массивов [math]AN[/math] и [math]JA[/math], с которых начинается описание очередной строки. Последняя компонента массива [math]IA[/math] содержит указатель первой свободной компоненты в массивах [math]AN[/math] и [math]JA[/math], т.е. равна числу ненулевых элементов матрицы, увеличенному на единицу. Здесь уместно привести пример.

Рассмотрим матрицу [math]A[/math]:

[math]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math],

тогда ее представление в формате RR(C)O будет иметь вид:

  IA = [ 1 2 4 4 5 6 ]
  JA = [ 4 1 3 2 3 ]
  AN = [ 2 1 3 6 4 ]

Т.е. массив [math]AN[/math] содержит все не нулевые элементы исходной матрицы [math]A[/math], массив [math]JA[/math] номер столбца в котором находится соответствующий элемент из [math]AN[/math] и наконец массив [math]IA[/math] содержит номер с которого начинается описание элементов в массивах [math]JA[/math] и [math]AN[/math]. Таким образом информация об элементах 2-ой строки матрицы хранится в элементах с [math]IA[2] = 2[/math] по [math]IA[3] - 1 = 3[/math] включительно массивов [math]JA[/math] и [math]AN[/math]. Можно обратить внимание, что [math]IA[3] = IA[4] = 4[/math], а это означает, что 3-я строка матрицы [math]A[/math] нулевая.

В общем случае описание [math]r[/math]-й строки матрицы A хранится в компонентах с [math]IA[r][/math] до [math]IA[r + 1] - 1[/math] включительно массивов [math]AN[/math] и [math]JA[/math]. Если [math]IA[r + 1] = IA[r][/math], то это означает, что [math]r[/math]-я строка нулевая. Количество элементов в массиве [math]IA[/math] на единицу больше, чем число строк исходной матрицы, а количество элементов в массивах [math]JA[/math] и [math]AN[/math] равно числу ненулевых элементов исходной матрицы.

Данный способ представления называют полным, поскольку представлена вся матрица [math]A[/math], упорядоченным, поскольку элементы каждой строки матрицы [math]A[/math] хранятся в соответствии с возрастанием столбцовых индексов, и строчным, поскольку информация о матрице [math]A[/math] указывается по строкам.

Массивы [math]IA[/math] и [math]JA[/math] представляют портрет (структуру) матрицы [math]A[/math], задаваемый как множество списков смежности ассоциированного с [math]A[/math] графа. Если алгоритм, реализующий какую-либо операцию над разреженными матрицами, разбит на этапы символической обработки, на котором определяется портрет результирующей матрицы, и численной обработки, на котором определяются значения элементов результирующей матрицы, то массивы [math]IA[/math] и [math]JA[/math] заполняются на первом этапе, а массив [math]AN[/math] - на втором.

1.1.1.2 Формат RR(C)U

Рассмотрим теперь формат RR(C)U.

Сокращенное название данного формата происходит от английского словосочетания "Row - wise Representation Complete and Unordered" (строчное представление, полное, но неупорядоченное). Формат RR(C)U отличается от RR(C)O тем, что в данном случае соблюдается упорядоченность строк, но внутри каждой строки элементы исходных матриц могут храниться в произвольном порядке. Для матрицы [math]A[/math] нашего примера вполне можно было бы использовать и строчное представление, полное, но неупорядоченное такое:

  IA = [ 1 2 4 4 5 6 ]
  JA = [ 4 3 1 2 3 ]
  AN = [ 2 1 3 6 4 ]

Такие неупорядоченные представления могут быть очень удобны в практических вычислениях. Результаты большинства матричных операций получаются неупорядоченными (например, операции вставки и удаления новых коэффициентов), а их упорядочение стоило бы значительных затрат машинного времени. В то же время, за немногими исключениями, алгоритмы для разреженных матриц не требуют, чтобы их представления были упорядоченными.

1.1.1.3 Замечания

Несколько замечаний по поводу рассмотренных форматов представления:

1. Очевидно, что представление матрицы в формате RR(C)O так же является и представлением в формате RR(C)U, но не наоборот.
2. Из представления матрицы в формате RR(C) нельзя получить информацию о точном количестве столбцов исходной матрицы.
3. Целесообразно (в вопросе экономии памяти) использовать представления RR(C) в случае, если матрица содержит значительное число нулевых элементов.

1.1.2 Умножение разреженной матрицы на вектор

Важным приложением этих алгоритмов является вычисление векторов Ланцоша, необходимое при итерационном решении линейных уравнений методом сопряженных градиентов, а также при вычислении собственных значений и собственных векторов матрицы. Достоинство этих процедур, с вычислительной точки зрения, состоит в том, что единственная требуемая матричная операция - это повторное умножение матрицы на последовательность заполненных векторов; сама матрица не меняется.

Мы рассмотрим умножение разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U посредством массивов [math]IA[/math], [math]JA[/math], [math]AN[/math] на заполненный вектор-столбец.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: разреженная матрица общего вида [math]A[/math] с элементами [math]a_{ij}[/math] ([math]i = 1,...,n[/math] и [math]j = 1,...,m[/math]). Заполненный вектор-столбец [math]b[/math] с элементами [math]b_{j}[/math] ([math]j =1,...,m[/math]).

Вычисляемые данные: заполненный вектор-столбец [math]c[/math] с элементами [math]c_{i}[/math] ([math]i = 1,...,n[/math]).

Формулы метода:

[math]c_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{l_{i}} a_{i,j=j(k)}b_{j=j(k)}[/math],

где [math]l_{i}[/math] - количество ненулевых элементов строки [math]i[/math] матрицы [math]A[/math], [math]j(k)[/math] - индекс [math]k[/math]-го ненулевого элемента матрицы [math]A[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии умножения разреженной матрицы на вектор можно составить из множественных (всего их [math]n[/math]) вычислений скалярных произведений строк матрицы:

[math]c_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{l_{i}} a_{i,j=j(k)}b_{j=j(k)}[/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]n[/math]) вычисления сумм:

[math]c_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{l_{i}} a_{i,j=j(k)}b_{j=j(k)}[/math],

которые могут вычисляться в произвольном порядке.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Далее предполагаем, что разреженная матрица общего вида [math]A[/math] хранится в форме RR(C)U посредством массивов [math]IA[/math], [math]JA[/math], [math]AN[/math]. Последовательность исполнения метода следующая:

Выполнять для [math]i[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math]

1. [math]c_{i} = 0[/math]
2. [math]IAA = IA[i][/math]
3. [math]IAB = IA[i + 1] - 1[/math]
4. [math]c_{i} = \sum\limits_{k = IAA}^{IAB} AN[k]b_{JA[k]}[/math].

После этого (если [math]i \le n[/math]) происходит переход к шагу 1 с бо́льшим [math]i[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для умножения разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U, размером [math]n \times m[/math] на заполненный вектор [math]m \times 1[/math] в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

• [math]O(l)[/math] сложений,
• [math]O(l)[/math] умножений.

Умножения и сложения составляют основную часть алгоритма.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения разреженной матрицы на вектор относится к алгоритмам [math]O(l)[/math].

1.7 Информационный граф

Опишем граф алгоритма как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей одной размерности.

Первая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию [math]a \cdot b[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]k[/math], принимая все целочисленные значения,

где [math]k = k(i) = IA[i+1]-IA[i][/math].

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math] - элемент входных данных, а именно [math]AN[IA_{i}+j-1][/math].
• [math]b[/math] - элемент входных данных, а именно [math]b[IA_{i}+j-1][/math].

Результат срабатывания операции является промежуточным данным алгоритма.

Вторая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция [math]a + b[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] - меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] - меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]k-1[/math], принимая все целочисленные значения,

где [math]k = k(i) = IA[i+1]-IA[i][/math].

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math]:
  • при [math]j = 1[/math] - результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатами [math](i, j)[/math];
  • при [math]j \gt 1[/math] - результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math](i, j - 1)[/math];
• [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатами [math](i, j + 1)[/math].

Результат срабатывания операции:

• при [math]j \lt k - 1[/math] является промежуточным данным алгоритма;
• при [math]j = k - 1[/math] является выходным данным [math]c_{i}[/math].

Описанный граф можно посмотреть на рис.1. Здесь вершины первой группы обозначены красным цветом и отмечены знаком умножения, вершины второй - зелёным цветом и знаком сложения. Вершины, соответствующие входным данным обозначены белым цветом и выходным - синим.

Рисунок 1. Граф алгоритма умножения разреженной матрицы на вектор

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для умножения разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U, размерности [math]n \times m[/math] на заполненный вектор [math]m \times 1[/math] в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

• Не более чем [math]m[/math] сложений и умножений ([math]n[/math] вычислений в каждом из ярусов)

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения разреженной матрицы на вектор относится к алгоритмам со сложностью [math]O(m)[/math]. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет [math]O(n)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: разреженная матрица общего вида [math]A[/math] размерности [math]n \times m[/math], хранимая в форме RR(C)U посредством массивов [math]IA[/math], [math]JA[/math], [math]AN[/math]. Заполненный вектор-столбец [math]b[/math] с элементами [math]b_{j}[/math] размерности [math]m \times 1[/math].

Объём входных данных: [math]2l+m+n+1[/math], где [math]l[/math] - количество ненулевых элементов в матрице [math]A[/math].

Выходные данные: заполненный вектор-столбец [math]c[/math] с элементами [math]c_{i}[/math] ([math]i = 1,...,n[/math]).

Объём выходных данных: [math]n[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является линейной.

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.

Пусть [math]l[/math] - количество ненулевых элементов матрицы [math]A[/math] размерности [math]n \times m[/math]. Пусть [math]x[/math] - объем памяти, используемый для хранения значения элемента матрицы, [math]y[/math] - объём памяти, используемый для хранения номера столбца или строки. В таком случае для хранения матрицы в стандартном представлении нам потребуется объем памяти, равный [math]x \cdot n \cdot m[/math], для хранения в формате RR(C) - [math]y(n + 1) + (x + y)l[/math]. Таким образом хранение в формате RR(C) не является эффективным (в вопросе используемой памяти) для матриц, в которых [math]l \gt \frac{xnm - y(n+1)}{x+y}[/math].

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Параллельная реализация алгоритма заключается в следующем:

1. Каждый процессор считывает входные данные из файла, зависящего от его номера. Данные имеют вид: вектор [math]b[/math] и набор определённых строк матрицы [math]A[/math] в формате RR(C)U в зависимости от номера процессора и их числа;
2. Процессоры проводят вычисления значений вектора [math]c[/math] в зависимости от имеющихся данных;
3. Все процессоры отправляют результаты вычисления процессору, выбранному главным, и главный процессор выводит результат вычислений.

Текст использованной в экспериментах реализации (язык С++):

#include <mpi.h>
#include <memory>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <fstream>
#include <string>
#include <iterator>

typedef std::shared_ptr<std::vector<std::vector<int> > > MyData;

MyData ReadData(const std::string& data_path) {
  std::ifstream file_stream;
  MyData retval(new std::vector<std::vector<int> >());
  file_stream.open(data_path);

  while (!file_stream.eof()) {
    std::string str;
    std::getline(file_stream, str);

    std::istringstream iss(str);
    auto temp_1 = (std::istream_iterator<std::string>(iss));
    auto temp_2 =  (std::istream_iterator<std::string>());

    std::vector<std::string> coordinates{ temp_1, temp_2};
retval->push_back(std::vector<int>());
    for (auto& e : coordinates) {
      retval->back().push_back(std::stoi(e));
    }
  }

  return retval;
}

// input: vector b, vector ia, vector ja, vector an
int main(int argc, char** argv){
	MPI_Init(&argc, &argv);
	int pid, np;
	MPI_Status *s = new MPI_Status;
	MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &pid);
	MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &np);
	if (argc == 2){
		int n;
		int indx = 0;
		int stp;
                double strttime = MPI_Wtime();
		std::vector<int> b;
		std::vector<int> ia;
		std::vector<int> ja;
		std::vector<int> an;
                auto data = ReadData("data_" + std::to_string(static_cast<long long>(pid)) + ".txt");
	        b = (*data)[0];
		ia = (*data)[1];
		ja = (*data)[2];
		an = (*data)[3];
		n = (*data)[0].size();
		std::vector<int> c; 
                stp = n / np + ((n % np > pid) ? 1 : 0);
		if (pid == 0){
			c.resize(n, 0);
		}
		else{
			c.resize(stp, 0);
		}
		for (int i = 0; i < stp; i++){
			int strt = ia[i] - ia[0];
                        int lstr = ia[i + 1] - ia[i];
			for (int j = 0; j < lstr; j++){
				c[i] += an[strt + j] * b[ja[strt + j]];
			}
		}
		if (pid == 0){
			for (int i = 1; i < np; i++){
				indx += n / np + ((n % np > i - 1) ? 1 : 0);
				stp = n / np + ((n % np > i) ? 1 : 0);
				MPI_Recv(&c[indx], stp, MPI_INT, i, 0, MPI_COMM_WORLD, s);
			}
		}
		else{
			MPI_Send(&c[0], stp, MPI_INT, 0, 0, MPI_COMM_WORLD);
		}
		if (pid == 0){
			for (int e : c) {
                std::cout << e << "\n";
                        }
                        double endtime = MPI_Wtime();
                        std::cout << "Success! Time = " << endtime - strttime << "\n";
		}
	}
	MPI_Finalize();
	return 0;
}

Для формирования входных данных использовался следующий алгоритм (язык Python):

from scipy import sparse as sp
from numpy.random import randint
from os import mkdir
from os.path import join as jn

n = 10000
np = [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]

a = sp.csr_matrix(randint(0, 2, (n, n)))
b = randint(1, 5, n)
i = 0

for j in np:
  mkdir('data_' + str(j))
  indx = 0
  for i in range(0, j):
    stp = n / j + (1 if (n % j > i) else 0)
    ael = a.indptr[indx + stp] - a.indptr[indx]
    strt = a.indptr[indx]
    with open(jn('data_' + str(j), 'data_' + str(i) + '.txt'), 'w') as fout:
    
      for e in b:
        fout.write('{0} '.format(e))
      fout.write('\n')
	
      s = a.indptr[indx:indx + stp + 1]
      for e in s:
        fout.write('{0} '.format(e))
      fout.write('\n')
	
      s = a.indices[strt:strt + ael]
      for e in s:
        fout.write('{0} '.format(e))
      fout.write('\n')
    
      s = a.data[strt:strt + ael]
      for e in s:
        fout.write('{0} '.format(e))
      fout.write('\n')
  
    indx = indx + n / j + (1 if (n % j > i) else 0)

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма умножения разреженной матрицы на вектор. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета. Входные данные формировались на персональном компьютере в силу того, что интерпретатор на суперкомпьютере "Ломоносов" не удовлетворял нужным требованиям, и потом отправлялись на суперкомпьютер для последующей обработки.

Программа была собрана на узле компиляции суперкомпьютера "Ломоносов", с помощью компилятора intel/15.0.090 и компилятора openmpi/1.6.5-icc, на языке С++11.

Сборка производилась с помощью CMakeLists.txt, его содержание прилагается:

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)

project(task1)

set(CMAKE_CXX_STANDARD 11)

set(CXX_STANDARD_REQUIRED)

set(CMAKE_C_COMPILER mpicc)
set(CMAKE_CXX_COMPILER mpicxx)

find_package(MPI REQUIRED)

include_directories(${MPI_INCLUDE_PATH})

SET(CMAKE_CXX_COMPILER mpicc)

if(MPI_COMPILE_FLAGS)
  set_target_properties(task1 PROPERTIES
    COMPILE_FLAGS "${MPI_COMPILE_FLAGS}")
endif()

set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -fpermissive " ${MPI_COMPILE_FLAGS})

set(SOURCE_EXE task1.cpp)


add_executable(task1 ${SOURCE_EXE})

target_link_libraries(task1)

Запуск производился на вычислительных узлах суперкомпьютера "Ломоносов".

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров [1 : 128] по степеням 2;
• размер матрицы [1000 : 10000] с шагом 1000.

Рисунок 2. Время работы программы в зависимости от количества процессоров и размера матрицы

Можно заметить, что при небольшом количестве входных данных, и большом количестве процессоров эффективность распараллеливания падает до нуля, поскольку время вычисления элементов вектора [math]c[/math] становится несоизмеримо малым по сравнению с временем, затраченным на пересылку в пункте (3).

Рисунок 4. Эффективность распараллеливания в зависимости от количества процессоров и размера матрицы

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существующие реализации:

SciPy [1],

MatLab [2],

Intel MKL [3].