Алгоритм Борувки: различия между версиями

[непроверенная версия]

Версия 15:55, 8 июля 2015

Содержание

1 Свойства и структура алгоритмов
2 Программная реализация алгоритмов
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Борувки^[1]^[2] предназначен для решения задачи о построении минимального остовного дерева во взвешенном неориентированном графе. Алгоритм хорошо параллелизуется и является основой для распределённого алгоритма GHS.

1.2 Математическое описание

Пусть задан связный неориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] с весами рёбер [math]f(e)[/math]. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру).

Алгоритм Борувки основан на следующих двух свойствах задачи:

Минимальное ребро фрагмента. Пусть [math]F[/math] – фрагмент минимального остовного дерева и [math]e_F[/math] – ребро наименьшего веса, исходящее из [math]F[/math] (т.е. ровно один его конец является вершиной из [math]F[/math]). Если ребро [math]e_F[/math] единственно, то оно принадлежит минимальному остовному дереву.
Схлопывание фрагментов. Пусть [math]F[/math] – фрагмент минимального остовного дерева графа [math]G[/math], а граф [math]G'[/math] получен из [math]G[/math] склеиванием вершин, принадлежащих [math]F[/math]. Тогда объединение [math]F[/math] и минимального остовного дерева графа [math]G'[/math] даёт минимальное остовное дерево исходного графа [math]G[/math].

В начале работы алгоритма каждая вершина графа [math]G[/math] является отдельным фрагментом. На очередном шаге у каждого фрагмента выбирается исходящее ребро минимального веса (если такое ребро существует). Выбранные рёбра добавляются в минимальное остовное дерево, а соответствующие фрагменты склеиваются.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма

1.9 Описание входных и выходных данных

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритмов

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Описание локальности данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

C++, MPI: Parallel Boost Graph Library; функции dense_boruvka_minimum_spanning_tree, boruvka_then_merge, boruvka_mixed_merge сочетают алгоритм Борувки и алгоритм Крускала.

3 Литература

↑ Borůvka, Otakar. “O Jistém Problému Minimálním.” Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti III, no. 3 (1926): 37–58.
↑ Jarník, Vojtěch. “O Jistém Problému Minimálním (Z Dopisu Panu O. Borůvkovi).” Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti 6, no. 4 (1930): 57–63.

[1] Borůvka, Otakar. “O Jistém Problému Minimálním.” Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti III, no. 3 (1926): 37–58.

[2] Jarník, Vojtěch. “O Jistém Problému Minimálním (Z Dopisu Panu O. Borůvkovi).” Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti 6, no. 4 (1930): 57–63.

[1]

[2]

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 === Математическое описание ===
+Пусть задан связный неориентированный граф <math>G = (V, E)</math> с весами рёбер <math>f(e)</math>. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру).
+Алгоритм Борувки основан на следующих двух свойствах задачи:
+* '''Минимальное ребро фрагмента'''. Пусть <math>F</math> – фрагмент минимального остовного дерева и <math>e_F</math> – ребро наименьшего веса, исходящее из <math>F</math> (т.е. ровно один его конец является вершиной из <math>F</math>). Если ребро <math>e_F</math> единственно, то оно принадлежит минимальному остовному дереву.
+* '''Схлопывание фрагментов'''. Пусть <math>F</math> – фрагмент минимального остовного дерева графа <math>G</math>, а граф <math>G'</math> получен из <math>G</math> склеиванием вершин, принадлежащих <math>F</math>. Тогда объединение <math>F</math> и минимального остовного дерева графа <math>G'</math> даёт минимальное остовное дерево исходного графа <math>G</math>.
+В начале работы алгоритма каждая вершина графа <math>G</math> является отдельным фрагментом. На очередном шаге у каждого фрагмента выбирается исходящее ребро минимального веса (если такое ребро существует). Выбранные рёбра добавляются в минимальное остовное дерево, а соответствующие фрагменты склеиваются.
 === Вычислительное ядро алгоритма ===
 === Макроструктура алгоритма ===