Участник:Bormas: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 16: Строка 16:
 
Рассмотрим <math> \frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} </math> при <math>x \to \infty </math>  
 
Рассмотрим <math> \frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} </math> при <math>x \to \infty </math>  
 
<math> \Rightarrow </math>
 
<math> \Rightarrow </math>
−
<math> F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)</math>
+
<math> F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)</math>, то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше
−
<math> \Rightarrow </math>
+
 
 +
Найдем <math> a_n </math>
  
 
<math> \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}</math> при <math>x \to \infty </math>,  
 
<math> \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}</math> при <math>x \to \infty </math>,  
Строка 30: Строка 31:
  
 
Будем искать <math> \ln{a_n} </math> в виде:
 
Будем искать <math> \ln{a_n} </math> в виде:
−
 
 
<math> \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})</math>, где <math> \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})</math>
 
<math> \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})</math>, где <math> \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})</math>
  
−
<math> \ln{r_n} - (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{c} = 0 </math>
+
<math> \ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n} </math>
  
−
<math> \ln{(\ln{n}+\ln{r_n})} = \ln{\ln{n}} + ln{(1 + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}})} = \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \frac{\overline{O}(\ln{r_n})}{\ln{n}} = \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \overline{O}(1)</math>
+
<math> \ln{r_n} \simeq = \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})} </math> - подставляем это в <math> \ln{a_n} </math>
  
−
<math> \ln{r_n} - (\beta - 1)[-\ln{\alpha} + \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \overline{O}(1)] - \ln{C} = 0 </math>, учитывая <math> \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} = \overline{O}(1) </math>
+
<math> \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}) </math>
  
−
<math> \ln{r_n} = -(\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \ln{C} + \overline{O}(1) = (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \overline{O}(1) + \ln{\tilde{C}} </math>,
+
<math> a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}</math>
  
−
где <math> \tilde{C} = C\alpha^{1 - \beta} </math>
+
В частном случае (из функции распределения):
  
−
<math> \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \ln{\tilde{C}}) = \ln{(n(\ln{n})^{\beta-1}\tilde{C})^{\frac{1}{\alpha}}}</math>
+
<math> C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2} </math> - находятся путём подставления в
 +
<math> \overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}} </math>
  
−
<math> a_n = (\frac{n(\ln{n})^{\beta-1}C}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}</math>
+
<math> a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}} </math>

Версия 23:10, 8 октября 2017

1 Задача

Пусть [math] X_1, X_2,...X_n [/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math] F(x) [/math], для которой при [math] x \to +\infty [/math] имеет место следующее представление:[math] F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} [/math], где [math] C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta [/math].

Методом статистического анализа показать, что [math] \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 [/math] и найти коэффициенты [math] a_n \gt 0 [/math].

Построить гистограмму статистики [math] T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} [/math] для функции [math] F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+2)\sqrt{\ln{(x+2)}}}, x \gt 0 [/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.

2 Решение

Рассмотрим [math] \frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} [/math] при [math]x \to \infty [/math] [math] \Rightarrow [/math] [math] F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)[/math], то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше

Найдем [math] a_n [/math]

[math] \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}[/math] при [math]x \to \infty [/math], [math] \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n}[/math] [math] \Rightarrow [/math]

[math] \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}}[/math]

[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n}[/math]

[math] \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n}[/math]

Будем искать [math] \ln{a_n} [/math] в виде: [math] \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})[/math], где [math] \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})[/math]

[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n} [/math]

[math] \ln{r_n} \simeq = \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})} [/math] - подставляем это в [math] \ln{a_n} [/math]

[math] \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}) [/math]

[math] a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}[/math]

В частном случае (из функции распределения):

[math] C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2} [/math] - находятся путём подставления в [math] \overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}} [/math]

[math] a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}} [/math]

Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Участник:Bormas&oldid=22862